Medidas De Posicion Y Tendencia Central

MEDIDAS DE POSICION O TENDENCIA CENTRAL

Introducción

Se había considerado en el anterior capitulo, que la estadística tenía como finalidad, entre otras, la de describir el comportamiento de un hecho o de un conjunto de observaciones, mediante la elaboración de cuadros, graficas y la aplicación de medidas de posición y de dispersión, para determinar un valor considerado como normal o típico. Las medidas de posición o de tendencia central nos permiten determinar la posición de un valor respecto a un conjunto de datos, el cual consideramos como representativo para el total de las observaciones.

Cuando a raíz de una encuesta aplicada a los clientes de una entidad financiera, con el fin de conocer el valor promedio de sus depósitos, afirmamos que el valor promedio por cliente es $800.000 por mes, estamos representando una gama o variedad de consignaciones, que van desde clientes que no consignan, hasta consignaciones superiores a $ 800.000. Con esta información hacemos referencia al comportamiento de las consignaciones en una entidad financiera de una zona de la ciudad; también, el resultado puede ser comparado con las consignaciones promedios de otras entidades financieras, o la consignación promedio por persona, o establecer la relación que hay entre la consignación y los niveles de ingresos

JUSTIFICACIÓN

Después de recopilar, organizar y representar los datos en forma gráfica, se inicia el análisis estadístico, con el fin de sintetizar la información total, en un resumen numérico que conste de uno o más números. Cuando se tiene una serie de datos estadísticos referentes a un fenómeno observado, se busca un valor representativo para toda la información. Se deben emplear números simples para describir ciertas características de un conjunto de datos. Los valores representativos muestran un análisis más preciso de los datos que el presentado a partir de tablas y graficas. Los números permiten obtener mejores y más rápidas decisiones. Estas mediciones se denominan medidas de

Tendencia central o de localización porque indican el valor medio o típico.

Dentro de los promedios se consideran, entre otros, los siguientes:

La media aritmética, la media geométrica, la media cuadrática, la media armónica, media cubica, la mediana, el modo o moda, el recorrido, los percentiles. En este modulo sólo se explicará la media aritmética, la media geométrica, la mediana, el modo o moda y los

Percentiles.

LA MEDIA ARITMETICA

Se calcula al sumar todos los valores de la variable, y dividida por el número de observaciones. Su desventaja principal es el de ser muy sensible a los cambios que se hagan en alguno de sus valores, o cuando los valores extremos son demasiado grandes o pequeños.

La media aritmética se designa indistintamente por: M(x) , M(y), (X ) ̅, Y ̅. Cuando se trabajo con datos no agrupados se utiliza la X ( X ) con la rayita encima para simbolizar la media aritmética. Y para datos agrupados la Y con la rayita encima ( y ).

Ejemplo de datos no agrupados;

Supónganos que se tienen diez (10) observaciones 8; 2; 8; 6; 2; 2; 6; 8; 2; 4.

La media aritmética será: X ̅ = Σ Xi = 8 + 2 + 8 + 6 + 2 + 2 + 6 + 8 + 2 + 4= 4,8.

La para la media en datos agrupados usamos la formula: y ̅=(∑▒〖y_i n_i 〗)/n

tenemos los siguientes datos en el cuadro de frecuencias, la media será

y_(j-1)^'-〖 y〗_j^' 〖 n〗_i 〖 y〗_(j ) y_j n_j h_j y_j h_j 〖 N〗_j logy_j n_j logy_j

120,1 – 127 4 123,5 494,0 0,08 9,88 4 2.08 8.32

127,1 – 134 9 130,5 1.174,5 0,18 23,49 13 2.11 18.99

134,1 – 141 13 137,5 1.787,5 0,26 35,75 26 2.13 27.69

141,1 – 148 15 144,5 2.167,5 0,30 43,35 41 2.15 32.25

148,1 – 155 5 151,5 757,5 0,10 15,15 46 2.17 10.85

155,1 – 162 4 158,5 634,0 0,08 12,68 50 2.19 8.76

∑ 50 - 7.015,0 1,00 140,30 106.86

y ̅=(∑▒〖y_i n_i 〗)/n=7.015/50=140.3

La media aritmética también se puede calcular con la frecuencia relativa por la expresión: y ̅=∑▒〖y_j h_j 〗=140.3

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

Es necesario conocer y manejar en forma correcta las propiedades que tiene la media aritmética, pues nos facilita el desarrollo de ciertas operaciones. Muchas de ellas necesarias en la práctica.

a) La suma de las desviaciones con respecto a la media es igual a cero

∑▒(y_j-y ̅ ) =0 X ̅=(x_j-X ̅ )=0

Si para una variable se tienen los siguientes valores:

3; 7; 8; 2; 6; 4; la media aritmética es igual a 5, entonces sus desviaciones son:

X_j x_j-X ̅ ∑▒(x_j-X ̅ )

3 3 - 5 -2

7 7 - 5 2

8 8 - 5 3

2 2 - 5 -3

6 6 - 5 1

4 4 - 5 -1

∑ 0

b) La media de una constante es igual a la constante: x ̅(K)=K

c) La media aritmética tomada de unas submuestras y una sudmedias es igual a

la media de las submuestra por la ponderación de las submuestras, mediante la

siguiente fórmula: Para m submuestras:

x ̅= (x ̅_1 n_1+x ̅_2 n_2+⋯+x ̅_m n_m)/(n_1+n_2+⋯+n_m )

Ejemplo: El salario promedio de 12 las mujeres que trabajan en una entidad financiera es de $ 670.000, y el salario promedio de 8 hombres es de $ 820.000. ¿Cuál será el salario promedio de todos los empleados bancarios?

n1 = 12 , x ̅1 = $ 670.000 n2= 8 x ̅2 = $ 820.000

x ̅=((670.000)(12)+(820.000)(8))/(12+8)=$730.000

La media geométrica.

En ocasiones los administradores financieros se enfrentan ante situaciones al

manejo de cantidades que presentan variaciones en un periodo de tiempo e indican un crecimiento o decrecimiento de manera porcentual, es ahí, donde se debe recurrir, a la media geométrica, para hallar el promedio de crecimiento o

decrecimiento. La media geométrica de un conjunto de n valores de una variable es la raíz enésima del producto de las observaciones.

Mg = También se simboliza como G(x), Mº. Para ocho datos: 2, 3, 6, 2, 4, 6, 2, 4

Mº=√(5&2^3∙3∙4^2∙6^2 )=2.240,938

El cálculo de la media geométrica para datos agrupados se halla mediante la

siguiente fórmula: Mº=Antilog ( ∑▒〖n_j log〖 y〗_j 〗)/n= Antilog 106.86/50=Antilog2.13=137.15

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