Modelo De Solow

El modelo de crecimiento de Solow

Joaquín Ledesma

Este texto, y los gráficos interactivos asociados, forman parte del capítulo 13 del manual "Economía, teoría y política" (Pearson-Prentice Hall, Buenos Aires, 2004) y se publican aquí con la autorización de su autor.

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El modelo de Solow y el proceso de acumulación del conocimiento

de Marleny Cardona Acevedo y otros

Uno de los modelos más conocidos de la escuela neoclásica acerca de la relación entre ahorro, acumulación de capital y crecimiento es el que Robert M. Solow desarrolló a fines de los años cincuenta y sesenta. Este modelo señaló cómo el ahorro, el crecimiento demográfico y el avance tecnológico influían sobre el aumento del producto a lo largo del tiempo.

En 1987, Solow obtuvo el premio Nobel de Economía por su trabajo sobre el crecimiento económico. El modelo fue presentado en: Solow, R. M., "A Contribution to the Theory of Economic Growth". En: Quarterly Journal of Economics, febrero de 1956.

Partía de tres supuestos:

1- La población y la fuerza de trabajo (que se suponen iguales) crecen a una tasa proporcional constante (n) determinada por factores biológicos, pero independiente de otras variables y aspectos económicos.

2- El ahorro y la inversión son una proporción fija del producto neto en un momento dado.

3- La tecnología se supone afectada por dos coeficientes constantes: la fuerza de trabajo por unidad de producto y el capital por producto.

Para comenzar con el análisis, examinemos cómo la oferta y la demanda de bienes determinan la acumulación de capital. La oferta de bienes determina el nivel del producto en un momento dado, y la demanda determina cómo dicho producto se distribuye entre usos alternativos. En el modelo de Solow, la oferta de bienes se basa en la conocida función de producción:

y = F (K, L)

Donde

K = stock de capital

L = trabajo

El modelo de crecimiento de Solow supone que la función de producción tiene rendimientos constantes a escala: al aumentar los insumos trabajo y capital en una determinada proporción, el producto se incrementa en la misma proporción.

La función de producción muestra la productividad marginal decreciente del capital: cada incremento del capital en una unidad causa en la producción un aumento menor que el derivado de la unidad de capital anterior. Esto significa que cuando se dispone sólo de un pequeño capital, una unidad adicional de capital es muy útil y añade una gran cantidad de producción; cuando el capital es muy grande, en cambio, una unidad adicional es menos útil y acrecienta sólo un poco la producción.

Veamos el gráfico de esta función en términos per cápita:

Gráfico 1 Función de producción per cápita

Pulsar en las flechas para seguir el trazado del gráfico

La función de producción muestra cómo k (el nivel de capital por trabajador) determina y (el nivel de producción por trabajador):

y = f (k)

La pendiente de la función de producción es la productividad marginal del capital (PMK): si k aumenta en una unidad, y aumenta en PMK unidades. La curva de la función de producción se hace más plana a medida que k aumenta, lo cual indica una productividad marginal decreciente. Dado que la inversión, como se estableció en los supuestos, es igual al ahorro, la tasa de ahorro es también la porción del producto dedicada a la inversión:

Seguimos el planteo original de Solow, que funciona en una economía cerrada al resto del mundo.

S = I

Para un stock de capital K, suponemos que su depreciación es una proporción fija de K, que llamaremos dK. El cambio en el stock de capital es igual a la inversión, neta de depreciación (es decir, la inversión menos esa depreciación):

ΔK = I - dK

Como I = S, y además suponemos que el ahorro es una proporción del producto nacional, S = sY, reemplazamos en la ecuación anterior:

ΔK = sY - dK

Para obtener el cambio en el stock de capital en términos per cápita dividimos la expresión anterior por el tamaño de la fuerza laboral (L):

ΔK / L = sy - dk (1)

Como la población y la fuerza laboral crecen a una tasa proporcional constante igual a n (por ahora consideraremos nulo el cambio tecnológico), entonces ΔL / L = n.

A su vez, si k = K / L, la tasa de crecimiento de k está dada por la siguiente ecuación:

Δk / k = ΔK / K - ΔL / L = ΔK / K-n

Haciendo un pasaje de términos, ΔK = (Δk / k) K + nK. Si dividimos ambos miembros de la ecuación por L:

ΔK / L = Δk + nk (2)

Igualando (1) y (2) llegamos a la ecuación fundamental de acumulación de capital:

Δk = sy - (n + d) k

El crecimiento del capital por trabajador Δk (también llamado coeficiente capital/trabajo) es igual a la tasa de ahorro per cápita (sy) menos el término (n + d) k.

Explicará el alcance de esta ecuación. Como indica el último término, dado que la fuerza laboral crece a una tasa n, un cierto monto del ahorro per cápita debe usarse para equipar a los nuevos participantes de la fuerza laboral con un capital k por trabajador. Para ello se debe aplicar un monto nk de ahorro. Al mismo tiempo, un cierto monto del ahorro per cápita se debe utilizar para reponer el capital depreciado, que es igual a una cantidad dk del ahorro. Por lo tanto, un total (n + d) k del ahorro per cápita se debe usar sólo para mantener constante el coeficiente capital/ trabajo al nivel k. Si el ahorro per cápita es mayor que el monto de (n + d) k, se produce un incremento en el coeficiente capital/ trabajo (Δk > 0).

"Profundización" significa, en este caso, incremento de capital por trabajador (Δk).

El ahorro destinado a equipar a los nuevos participantes de la fuerza laboral y reponer el capital depreciado se denomina ampliación del capital. Por otro lado, el ahorro que se utiliza para hacer subir el coeficiente capital/producto se llama profundización del capital. Por lo tanto, la ecuación fundamental del modelo de Solow establece que:

Profundización

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