Solución de forma cerrada para el modelo de Solow con migración constante

Solución de forma cerrada para el modelo de Solow con migración constante

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1. COMENCEMOS CON LA Introducción

En el artículo hablamos de “migraciones”, es decir, el impacto de una mano de obra adicional constante a la clásica ley maltusiana que alimenta el modelo de Solow. Mostramos que este modelo tiene una solución de forma cerrada.
En la siguiente sección revisamos el modelo clásico de Solow, y en la sección 3 presentamos el modelo modificado por el término de migración, discutimos la estabilidad y el estado estacionario del capital y la producción per cápita. En la Sección 4 discutimos brevemente el caso en el que tenemos inmigración Finalmente, en la Sección 5 se muestran las conclusiones.

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1. El modelo de Solow para el crecimiento económico

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El modelo de crecimiento de Solow asume una función de producción dependiendo del stock de capital acumulado (K) y mano de obra (L) en un tiempo t, y un factor constante A, la cual se representa en la función 2.1:[pic 1]

Esta función de producción debe cumplir con las siguientes propiedades:

• Es una función creciente en ambas variables de estado, capital y fuerza de trabajo con rendimientos marginales decrecientes[pic 2][pic 3]
•  Debe tener rendimientos constantes a escala[pic 4]
• El límite de la derivada cercana a 0 es infinito positivo y el límite de la derivada hacia el infinito positivo es 0. [pic 5]

[pic 6]

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Un ejemplo de una función de producción que satisface dichas condiciones es la de Cobb-Douglas:

[pic 7]

La dinámica del stock de capital se rige por la siguiente ecuación:[pic 8]

La dinámica de la fuerza laboral sigue la Ley de Malthus:[pic 9]

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1. El modelo de crecimiento de Solow con migración

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En este trabajo agregaremos una tasa de migración constante I en la derecha de la ecuación (2.4) que rige el crecimiento de la fuerza de trabajo:[pic 10]

1. Estabilidad y estado estacionario

Proposición 1
La primera proposición nos habla de lo que se cumple para el capital per cápita 

• El capital per cápita k̄(t) es globalmente estable asintóticamente para     I ∈ [−αL0,0].
• El capital per cápita tiende a infinito en un tiempo finito si I ∈ (−∞, −αL0)

Proposición 2

El capital de estado estacionario per cápita k̄∞ es dado por:[pic 11]

Proposición 3

• El producto per cápita ȳ(t ) es globalmente estable asintóticamente para I∈ [−αL0,0]
• La producción per cápita tiende a infinito en un tiempo finito si Yo∈(−∞,−αL0)

Proposición 4

La producción per cápita de estado estacionario ȳ∞ es dado por:[pic 12]

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1. Solución de forma cerrada para I<0 (tasa de migración constante menor a cero)

La integral se relaciona con la representación integral de Euler de la función hipergeométrica de Gauss en la función 3.2:[pic 13]

Y la producción bruta de la economía en la función 3.3:[pic 14]

que describe la producción total de la economía cuando el crecimiento natural de la fuerza laboral maltusiana se ve modificado por una constante tasa de emigración de trabajadores.

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1. ¿Qué pasa con la inmigración?

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Debido a la estructura de nuestro modelo de crecimiento descrito, una inmigración no puede ser tratada porque con I>0 y α>0, da una mano de obra exponencial representada por la ecuación 4.1:

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