PROGRAMACION LINEAL. Métodos de Optimización Aplicados

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Tarea Semana 2:

Modelando Matemáticamente

MII 505 Métodos de Optimización Aplicados

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Introducción

Esta semana se trabajará en la comprensión mediante la modelación matemática, a través de la Programación lineal y los diferentes Modelos de transportes como primera parte del curso de MÉTODOS DE OPTIMIZACION APLICADOS

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Todos sabemos que, en cualquier empresa, muchas de las decisiones que se toman, tienen por objeto hacer el mejor uso posible (optimización) de sus recursos. Por recursos de una empresa entendemos la maquinaria que ésta posea, sus trabajadores, capital financiero, instalaciones, y las materias primas de que disponga. Tales recursos pueden ser usados para fabricar productos (electrodomésticos, muebles, comida, ropa, etc.) o servicios (horarios de producción, planes de marketing y publicidad, decisiones financieras, etc.). La Programación Lineal (PL) es una técnica matemática diseñada para ayudar a los directivos en la planificación y toma de decisiones referentes a la asignación de los recursos.

Las técnicas de PL han sido ampliamente utilizadas en ámbitos tan diferentes como el militar, industrial, financiero, de marketing, e incluso agrícola. No obstante, de tal diversidad de aplicaciones, todos los problemas de PL tienen cuatro propiedades comunes:1. Pretenden optimizar (maximizar o minimizar) alguna cantidad (función objetivo). Así, por ejemplo, el principal objetivo de un banquero sería maximizar beneficios, mientras que el principal objetivo de una empresa transportista podría ser minimizar los costes de los envíos.

Además, estudiaremos los modelos de transporte se puede describir en términos generales, como aquel que se ocupa de asignar y encontrar la ruta para las unidades desde los centros de suministros hacia los centros de recepción, pasando por los puntos de transbordo.

Uno de los requisitos del problema de transporte, es el que se conozca de antemano la forma en que se van a distribuir las unidades de cada origen a cada destino, para poder determinar cuál es el coste por unidad. En ocasiones, no resulta evidente cuál es el mejor medio de distribución, pues existe la posibilidad de transbordos en los que los empaques pasarían por puntos de transferencias intermedias.

El modelo de transporte consiste en buscar con procesos matemáticos la ruta más económica del origen a cada destino, sin embargo, si existen muchos puntos de transferencia intermedia, esta tarea puede ser complicada y laboriosa.

La idea básica consiste en interpretar los viajes individuales como si se tratara de un transporte de un origen a un destino, y así pensar que todos los puntos intermedios son tanto orígenes como destinos potenciales.

En los siguientes casos de Programación Lineal habrá un desarrollo con problemas de optimización de recursos técnicamente más complejos en su modelación, para posteriormente utilizar la herramienta Solver de Excel.

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Desarrollo

1.   La demanda de un artículo perecedero durante los cuatro meses próximos es de 400, 300, 420 y 380 toneladas, respectivamente. Las posibilidades de la oferta durante los mismos meses son 500, 600, 200 y 300 toneladas. El precio de compra por tonelada varía de un mes a otro, y se estima en $100, $140, $120 y $150, respectivamente. Como el artículo es perecedero, la oferta del mes en curso se debe consumir en menos de tres meses (que cuentan a partir del mes en curso). El costo de almacenamiento por tonelada y por mes es de $3. La naturaleza del artículo no permite surtir pedidos atrasados.

1. Proponer y validar un modelo que permita determinar la demanda de entrega durante los cuatro meses siguientes.

Respuesta

Para establecer lo pedido se comienza definiendo las variables de decisión. En este caso corresponde a la cantidad de demanda entregada que se produce cierto mes y que se entrega en el mismo u otro mes medida en toneladas. Esto es:

 Según lo que indica el enunciado, lo que se requiere es minimizar el costo total de demanda de entrega, el cual se puede separar en dos cantidades, el costo de compra C.C. y el costo de almacenaje C.A.  Así, usando los datos dados en el enunciado se deduce que la función, y considerando que el almacenaje de un artículo que se compra en un mes para ser entregado en dos meses después es de dos meses (ejemplo:  se almacena en el mes uno para ser distribuido en el mes 3, lo que implica 2 meses de almacenamiento, mientras que  sólo implicaría un almacenamiento de 1 mes), se deduce que la función objetivo está dada por:[pic 6][pic 7]

 Es claro que los valores  tales que  corresponden a , ya que no se distribuyen artículos de producidos hace más de tres meses, por eso no se presentan estos valores en la definición de la función objetivo. Además, la condición de que no se pueden realizar pedidos atrasados nos dice que  cuando . [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

Se prosigue estableciendo las condiciones que deben satisfacer las variables aquí consideradas:

     Por tanto, se debe resolver el problema de optimización dado por:

     Dado que son sólo necesarias 9 variables para resolver el problema, se ha designado como , , ,  , , ,   y    para la resolución mediante el uso de Solver.  Como resultado del uso de la herramienta se tiene:[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

     Utilizando la herramienta Solver se obtiene como resultado la siguiente tabla, que contiene los valores óptimos, así como el mínimo de la función objetivo FO.

Conclusión

Como conclusión se define que la demanda de entrega durante los próximos 4 meses será de 1.500 toneladas.

                     La oferta total será de 1.600 toneladas.

                    El costo total será de $190.040.

1.   Se hace el mantenimiento preventivo periódico a motores de aviones, donde se debe cambiar un componente importante. La cantidad de motores programados   para ese mantenimiento, durante los seis meses siguientes, se estima en 200, 180, 300, 198, 230 y 290, respectivamente. Todo el trabajo de mantenimiento se realiza durante los dos primeros días del mes, cuando se puede cambiar un componente usado por uno nuevo, o por un componente reconstruido.

La   reconstrucción de los componentes usados se puede hacer en un taller local, y cuando salen, están listos para usarse al principio del mes siguiente, o bien se pueden enviar a un taller central, y en ese caso hay una espera de tres meses (que incluye el mes en que se hace el mantenimiento). El costo de reparación en el taller local es de $120 por componente. En el taller central el costo sólo es de $35 por componente. Un componente reconstruido usado en algún mes posterior causará un costo adicional de almacenamiento de $1.50 por unidad y por mes. Los componentes nuevos se pueden comprar a $200 cada uno, en el mes 1, y con un 5% de aumento en el precio cada dos meses.

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