Planos y superficies. GeoGebra

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Contenido

Introducción        3

Planos        3

Representación gráfica de planos        4

Ejemplo de plano        4

Superficies cuadráticas        5

Elipsoides        5

Ejemplo de elipsoide        7

Cono        7

Ejemplo de cono        9

Paraboloide        9

Paraboloide hiperbólico        10

Ejemplo de paraboloide hiperbólico        11

Conclusión        11

Bibliografía        12

Introducción

Hoy en día las matemáticas no han dejado de ser parte de nuestra vida diaria, pues en todo momento están presentes, pero al paso de los años la tecnología ha evolucionado y han surgido nuevas herramientas que facilitan más rápido el aprendizaje y hacer representaciones graficas en tercera dimensión, por ejemplo, GeoGebra que brinda grandes herramientas para graficar funciones en segunda y tercera dimensión y al paso de los años seguirán avanzando e irán surgiendo nuevos métodos de resolución. Por ello en este documento explicare de manera breve el tema de “Objetos geométricos en tres dimensiones y sus curvas de nivel”, mostrando algunos ejemplos e ir dando mi punto de vista.

Las superficies y curvas en tres dimensiones son de interés tanto para los matemáticos, como para Arquitectos, quienes logran realizar sus diseños artísticos y armoniosos, e ingenieros que buscan encontrar estructuras resistentes compatibles con el diseño realizado.

Planos

En geometría analítica un plano se define como un objeto geométrico, que tiene dos dimensiones:

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Un plano contiene una cantidad infinita de rectas y puntos. En la imagen se pudo observar la diferencia entre un plano, una recta y un punto.

Un ejemplo de un plano que se utiliza mucho en matemáticas es el plano cartesiano. Esta trata del plano que queda definido por el eje de las abscisas (eje X) y el eje de las ordenadas (eje Y). Una de sus utilidades de este plano es que sirve para describir la posición de un objeto en un sistema de referencia.

Determinación de un plano

Ahora, veamos como se determina un plano en el espacio tridimensional.

Los planos quedan determinados por los siguientes elementos geométricos:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.
• Dos rectas paralelas o dos rectas secantes.

Características de un plano

Las características que tiene un plano son:

• Infinitos puntos.
• Infinitas rectas.
• Es ilimitado, es decir, es una superficie que se extiende en el espacio ilimitadamente.
• Dos planos que se cortan determinan una recta.
• Una recta que tiene un punto en un plano no necesariamente está contenida en él. Para que una recta forme parte de un plano debe tener, como mínimo, dos puntos en el plano.
• Por una recta pasan infinitos planos.
• Un semiplano es cada una de las 2 partes en que queda dividido un plano al cortarlo por cualquiera de sus rectas.

Representación gráfica de planos

Cualquier plano puede representarse mediante la ecuación general del plano: , donde  son constantes reales.[pic 6][pic 7]

Planos Coordenados

Si en esta ecuación tomamos , obtenemos la ecuación , lo vendría siendo , al no inferir las variables  e   en la ecuación, estas pueden tomar cualquier valor real, luego la ecuación representa el plano .[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

Ejemplo de plano

Si consideramos la ecuación del plano , notamos la ausencia de las coordenadas  e , esto indica que las constantes a, b y d de la ecuación, son nulas, lo que implica que las variables  e  toman cualquier valor real, más precisamente la ecuación  está representado gráficamente por el plano horizontal que es el paralelo al plano  y se encuentra a tres unidades arriba.[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

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Superficies cuadráticas

Se llama superficie al conjunto de puntos del espacio euclidiano tridimensional cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de la forma .[pic 22]

Elipsoides

El elipsoide es una superficie en el espacio que pertenece al grupo de las superficies cuádricas y cuya ecuación general es de la forma:

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Es el equivalente tridimensional de una elipse, caracterizada por tener trazas elípticas y circulares en algunos casos especiales. Las trazas son las curvas que se obtienen al interceptar el elipsoide con un plano.

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Ecuación del elipsoide

La ecuación canónica del elipsoide centrado en C es:

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donde  es un punto en el espacio y  son constantes reales positivas.[pic 26][pic 27]

Ecuaciones paramétricas del elipsoide

En coordenadas esféricas, el elipsoide puede ser descrito por la siguiente forma:

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Trazas del elipsoide

La ecuación general de una superficie en el espacio es  y las trazas de la superficie son las curvas:[pic 31]

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En el caso de un elipsoide, tales curvas son elipses y algunas veces circunferencias.

Volumen

El volumen V del elipsoide está dado por  veces el producto de sus tres semiejes:[pic 35]

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Ejemplo de elipsoide

Un ejemplo sencillo, considerando la ecuación del elipsoide seria:

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Cono

En su definición técnica el cono es una figura tridimensional que constituye al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

En otras palabras, son cuádricas formadas por el desplazamiento de una recta (Llamada generatriz) que pasa siempre por un punto fijo llamado vértice, a lo largo de una curva plana (cerrada o abierta) que se halla en un plano diferente al del vértice, denominada directriz del cono.

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