Polos Y Ceros

Polos y ceros

Cuando el sistema en estudio está representado por ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas, la función de transferencia resulta ser una razón de polinomios esto es:

donde a(s) y b(s) son polinomios en s.

Para sistemas físicamente reales el orden del polinomio denominador a(s) siempre es mayor o igual al orden del numerador b(s), por razones de causalidad.

Denominamos polos de G(s), a aquellos lugares del plano complejo s, en donde la función de transferencia G(s) se hace infinita, o sea donde a(s) = 0 (las raíces del polinomio denominador a(s)).

Denominan ceros de G(s), a aquellos lugares del plano complejo s, en donde la función de transferencia G(s) se hace cero, o sea donde b(s)=0 (las raíces del polinomio numerador b(s)).

Los polos y ceros describen completamente a G(s), excepto por un multiplicador constante, esto significa que las funciones G(s) las podemos representar directamente en el plano s.

Función de transferencia

La función de transferencia es la forma básica de describir modelos de sistemas lineales. Basada en la transformación de Laplace, permite obtener la respuesta temporal, la respuesta estática y la respuesta en frecuencia. El análisis de distintas descomposiciones de la respuesta temporal permite adquirir útiles ideas cualitativas, y definir varios importantes conceptos: efectos de las condiciones iniciales, respuestas libre y forzada, regímenes permanente y transitorio.

También permite definir el concepto central de estabilidad, y establecer un primer criterio para su investigación.

Ecuación diferencial y función de transferencia

El modelo básico de un sistema describe matemáticamente la influencia de una señal de entrada u(t) sobre otra señal de salida y(t). Supóngase que ambas están relacionadas mediante una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, de orden n.

-Diagrama de bloques básico

Es importante observar que físicamente la salida depende de la entrada,

pero normalmente no al contrario. Esta orientación no queda bien reflejada en

la ecuación diferencial, aunque se hace explícita en los diagramas de bloques.

Se transforman ahora ambos miembros de la ecuación. Si ambas señales

son causales (y por tanto tienen condiciones iniciales nulas), cada derivada se

traduce simplemente en un producto por s, y la ecuación diferencial en t se

convierte en una ecuación algebraica en s:

Definiendo los polinomios:

La salida puede expresarse (en transformadas) como la entrada multiplicada

por la función de transferencia F(s) del sistema, expresada como cociente

de polinomios:

• Los sistemas de orden no mínimo tienen raíces comunes a B(s) y A(s); la función de transferencia debe escribirse de forma simplificada, y es de orden inferior a n.

• Las funciones de transferencia propias tienen numerador de orden menor o igual al del denominador; esto siempre sucede en sistemas físicos, y se supondrá implícitamente.

• Las raíces del denominador y del numerador se denominan, respectivamente, polos y ceros de F(s).

El lugar Geométrico de las Raíces

El lugar geométrico de las raíces, es el lugar geométrico de valores de s para el cual 1 + K.G(s) = 0 se cumple, ya que el parámetro K (real) varía desde cero a infinito. Por lo general, 1 + K.G(s) es el denominador de una función de transferencia de interés, de modo que las raíces en el lugar geométrico son polos en lazo cerrado del sistema.

Partiendo de la ecuación 6.4, y teniendo en cuanta que la función compleja la podemos discriminar en su magnitud y fase, y para K positivos, podemos arrivar a la siguiente definición:

El lugar geométrico de las raíces de G(s) es el lugar geométrico de puntos en el plano s donde la fase de G(s) es 180.

Esto se lo conoce como la condición de fase, que significa matemáticamente:

, con l entero.

Punto de prueba y los ángulos

formados con los polos y ceros.

Ejemplo:

Tenemos la siguiente función de transferencia G(s) a lazo abierto:

En la figura mostramos con cruces la ubicación de los polos de esta función de transferencia, y con círculos los ceros. Suponemos un punto de prueba ubicado en so = -1 + 2.j, y realizamos la suma de las contribuciones de las fases para determinar si es o no punto del lugar de raíces:

= 90o - 116o.6 - 0o -76o -33o.7

= -136o.3

La fase de G para este punto de prueba vale -136o.3, y no 180o por lo tanto este punto de prueba no pertenece al lugar geométrico de las raíces.

Pasos para trazar el lugar geométrico de las raíces

PASO 1: Dibujamos los polos y ceros de la función de transferencia a lazo abierto (con x y o).

PASO 2: Encontramos la parte del eje real de los lugares geométricos de las raíces.

Si tomamos un punto de prueba sobre el eje real, la contribución en ángulo de los ceros o polos complejos conjugados se anularán, puesto que uno de los ángulos se cancela con el de su conjugado.

Entonces debemos considerar solo los polos y ceros que se encuentran sobre el eje real. Los mismos aportarán 0 si el punto de prueba está a la derecha del polo o cero, y aportará con -180 o +180 si el punto de prueba está a la izquierda del polo o cero, respectivamente.

Conclusión: Es lugar geométrico de las raíces, aquel lugar del eje real que está a la izquierda de un número impar de polos y ceros.

PASO 3: Dibujamos las asíntotas para valores grandes de K.

Cuando K tiende a infinito, la ecuación 1 + K.G(s)

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