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Primer Teorema De Induccion


Enviado por   •  14 de Junio de 2014  •  913 Palabras (4 Páginas)  •  217 Visitas

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Primer Teorema de la Induccion

Teorema 1.1.1. Primer Teorema de la Induccion Matematica. Consideremos la

proposicion P(n), que contiene la variable n ∈ N. Si la proposicion P(n) es tal que

a) Se cumple que P(1) es verdadera.

b) Asumiendo que P(k) es verdadera, se veri ca que P(k + 1) es verdadera,

entonces, P(n) se cumple para todo natural.

Demostracion. Consideremos el conjunto S formado por todos aquellos naturales que satisfacen

la proposicion, es decir, sea S = {n ∈ N= P(n) es verdedera }, debemos demostrar

que P(n) se satisface para todo natural, es decir, debemos demostrar que S = N.

Como P(1) es verdadero entonces 1 ∈ S, ademas, por hipotesis se cumple que P(k)V ⇒

P(k + 1)V ; esto indica que k ∈ S ⇒ (k + 1) ∈ S.

Dado que el conjunto S satisface el quinto axioma de Peano concluimos que S = N y

entonces la proposicion se cumple en N.

Observacion 1.1.2.

1) Podemos anotar, en forma mas breve, como sigue

{

a) P(1)V

b) P(k)V ⇒ P(k + 1)V

}

⇒ P(n) es V; ∀ n ∈ N

2) Tambien se conoce a esta proposicion como \Primer principio de la Induccion Matem

atica".

3) En el Primer Principio de la Induccion podra ocurrir que en la parte a) no se

veri que P(1) si no que para P(n0), n0 > 1 entonces, si se cumple b) para todo

n ≥ n0 concluimos que la proposicion se cumple para todo n ≥ n0.

Ejemplo 1.1.1. Demuestre que

1

1 · 2

+

1

2 · 3

+

1

3 · 4

+ · · · +

1

n · (n + 1)

=

n

n + 1

se cumple para todo natural.

Solucion. Sea

P(n) =

1

1 · 2

+

1

2 · 3

+

1

3 · 4

+ · · · +

1

n · (n + 1)

=

n

n + 1

:

Debemos demostrar que a) P(1) es verdadera, y que b) P(k) V ⇒ P(k + 1) V .

Antes ( de realizar la demostracion debemos notar que en ella esta involucrada la sucesion

1

n(n+1)

)

n2N

y que el hecho de que P(k) sea verdadera signi ca que la suma de los k

primeros terminos de la sucesion es k

k+1.

HERALDO GONZALEZ SERRANO 3

a) P(1) es verdadero ya que 1

12 = 1

1+1.

P(2) es verdadero si se cumple 1

12 + 1

23 = 2

2+1.

Como el lado izquierdo de la ultima expresion tiene valor 2

3 tanto como el lado

derecho, concluimos que P(2) es verdadero.

b) Si P(k) es verdadero, es decir, si

1

1 · 2

+

1

2 · 3

+

1

3 · 4

+ · · · +

1

k · (k + 1)

=

k

k + 1

;

debemos demostrar que P(k + 1) es verdadero, es decir, debemos demostrar que

1

1 · 2

+

1

2 · 3

+

1

3 · 4

+ · · · +

1

k · (k + 1)

+

1

(k + 1)(k + 2)

=

k

...

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