Probabilidad

Regla de Laplace: Hace algunos años el loto se jugaba escogiendo 6 números de un total de 36. Después esto cambió, ahora se escogen 6 números de un total de 39.

Analicemos.

¿Qué crees tú, es más fácil acertar a 6 números de 36 o a 6 de 39?

Es este juego del loto ¿importa el orden en que se sortean los números?

¿Cuál es el total de formas posibles de escoger 6 números de 36? ¿y en el caso de 6 de 39?

Un experimento aleatorio ocurre cuando:

-se puede repetir indefinidamente pudiéndose obtener en cada repetición resultados distintos.

-en cada prueba se obtiene un resultado que pertenece al conjunto de todos los resultados posibles del experimento.

-.Antes de realizar una nueva prueba del experimento no se puede predecir el resultado que se obtendrá.

Recuerda que: C_n^m=m!/n!(m-n)! , que corresponde al número de combinaciones de n elementos seleccionado de un total de los m elementos.

En el caso anterior: al elegir una cartilla del loto donde se eligen 6 de un total de 36 , corresponde a : C_6^36=36!/6!(36-6)!=36!/(6! ×30!)=(36×35×34×33×32×31×30!)/(6!×30!)=1.972.792 cartillas diferentes

Para el caso en que se eligen 6 de un total de 39 números,

C_6^39=39!/6!(39-6)!=36!/(6! ×30!)=(39×38×37×36×35×34×33!)/(6!×33!)=3.262.623

Probabilidad: posibilidad de que un suceso ocurra o no . Se designa un valor entre 0 y 1

Es decir la probabilidad de que un evento ocurra P(A), es un valor tal que:

0≤P(A)≤1

Cuando un evento P(A), es seguro que ocurra, entonces, P(A)=1

Cuando un evento es imposible que ocurra, entonces P(A)=0

Si la probabilidad de que un evento ocurra es P(A)=p , siendo 0≤p≤1 , entonces la probabilidad de que este mismo evento o suceso no ocurra es : P`(A)=1-p

En consecuencia: P(A)+ P`(A)=1

Regla de Laplace: la probabilidad de un suceso se calcula como el cociente entre los casos favorables y los casos posibles.

Esto es: P(A)=(número de resultados favorables del evento)/(número total de resultados)

Ojo:

La condición necesaria para aplicar esta regla es que el espacio muestral asociado al experimento aleatorio se equiprobable.

Cunando usamos esta regla para calcular probabilidades, las técnicas de conteo resultan de mucha utilidad.

En el caso de las cartillas del problema propuesto:

La probabilidad de acertar al loto eligiendo una cartilla eligiendo 6 números de un total de 36, jugando solamente una cartilla, está dado por:

P(6/36)=1/1.947.792=5,7〖x10〗^(-7)

La probabilidad de acertar al loto eligiendo una cartilla eligiendo 6 números de un total de 39, jugando solamente una cartilla, está dado por:

P(6/39)=1/1.262.623=3,06〖x10〗^(-7)

En consecuencia es más probable ganarse el loto eligiendo una cartilla de 6 números entre 36 que 6 de 39.

Aplicaciones:

1.- Si se crea un nuevo loto, donde se elijan 6 números de 42. ¿Cuál será la probabilidad de ganar con este nuevo juego?

2.- En una baraja de naipes inglés, calcula la probabilidad de que al sacar cinco cartas, se obtenga:

2.1.- cinco cartas de igual pinta.

2.2.-cuatro cartas de igual valor

2.3.-tres cartas de un valor y dos de cualquier otro valor.

3.- En una bolsa se colocan bolitas marcadas con todos los números de cinco cifras que se pueden formar con los dígitos; 1,2,3,4,5, sin repetir ningún digito.

3.1.-¿Cuántas bolitas hay en el interior de la bolsa

3.2.-¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un numero par?

3.3.-¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número menor a 20.000?

3.4.-¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número que termine en 1 o en 5?

4.- Cinco mujeres y cinco hombres compran diez asientos consecutivos de una fila del teatro. Si eligen al azar donde sentarse, calcula la probabilidad de que:

4.1.-Hombres y mujeres se sienten en sillas alternadas.

4.2.-Todas las mujeres se sienten juntas.

5.-Dos dígitos se eligen al azar del 1 al 9. Si la suma es par, calcula la probabilidad de que ambos números sean impares.

6.- Cinco cartas marcadas con los números: 1,2,3,4,y 5 , son sacadas aleatoriamente y colocadas en una fila . Evalúa la probabilidad de los siguientes eventos.

6.1.-que la carta 1 aparezca en la primera posición.

6.2.- que la carta 1 sea seguida inmediatamente por la carta 2

6.3.-que haya exactamente tres cartas que coincidan con su posición en la fila.

Probabilidad de la unión

Marta juan y diego están jugando a extraer una ficha de una caja que contiene en su interior ochos fichas numeradas de 1 a 4, cuatro rojas y cuatro azules, marta apuesta a que la ficha extraída tendrá un numero par, juan a que la ficha será azul y diego apuesta a que la ficha será azul o tendrá un numero par.

Analicemos ..

-Quién de los tres tiene mayor probabilidad de ganar la apuesta.

- como calculamos la probabilidad de cada uno de estos evento.

Cuál es el espacio muestral de este experimento

Es válido utilizar la regla de Laplace en estos casos

Qué relación hay entre las apuestas de diego con las de marta y juan.

Espacio muestral: conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. El espacio muestral es equiprobable, si todos los sucesos pertenecientes al espacio muestral, tiene la igual probabilidad.

Sucesos o eventos: elemento de un espacio muestral de un experimento aleatorio.

Entonces el espacio muestral de este experimento aleatorio se puede representar de la siguiente manera>:ç

Esto es E={1 ,2 3 ,4 ,1 ,2 ,3 ,4}

El espacio muestral es equiprobable, pues todas las fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas en la extracción. El número total de casos es ocho.

Cardinalidad (#) de un conjunto: cantidad de elementos contenidos en el:

Para este caso: #E=8

Si A : si se extrae una ficha y esta muestra un numero par

Entonces A={2 ,4 ,2 ,4}

Si B: la ficha extraída es azul, entonces:

Esto es: {1 ,2 3 ,4 }

Si C: la ficha extraída es numero par o azul, entonces:

Esto es C={2 ,4 ,1 ,2 ,3 ,4}

Observe que C=A∪B

A∩B={2,4}

SE OBSERVA QUE:

#C=#A+#B-#(A∩B)

Esto es:

#(A∪B)=#A+#B-#(A∩B)

En consecuencia:

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

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