Probabilidades

PROBLEMAS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.

Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Distribución de Bernoulli

Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55

Sea X=1 anota el tiros si no lo hace X=0 determine la media y la varianza de X

µ=1(p)+0(p)

µ=p

µ=1(0.55)+0(1-0.55)

µ=0.55+0(0.45)

µ=0.55

σ^2 x=p(1-p)

σ^2 x=0.55(1-0.55)

σ^2 x=0.55(0.45)

σ^2 x=0.2475

Si anota el tiro su equipo obtiene dos puntos si lo falla .Su equipo no recibe puntos. Sea Y el numero de puntos anotados ¿Tiene la distancia de Bernoulli ?si es así encuentre la probabilidad de éxito. Explique por qué.

No tiene un distribución de Bernoulli por que los eventos posibles (éxito y fracaso) solo pueden tener valores cero y uno

TIRO SE 3 PUNTOS

Determine la media y la varianza de Y.

µ=3(0)+0(1-p)

µ=3(0.55)+0(1-0.55)

µ=1.65+0(0.45)

µ=1.65

σ^2 x =(3-1.65 )^20.55+(0-1.65)^2 0.45

σ^2 x =(1.35 )^20.55+(0-1.65)^2 0.45

σ^2 x =1.002375+1.225125

σ^2 x =2.2275

en un restaurante de comida rápida 25% de las órdenes para beber es una bebida pequeña 35% una mediana y 40% una grande. Sea X=1 se escoge aleatoriamente una orden de bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso sea X=1si la orden es una bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si la orden es una bebida pequeña o mediana Z=0 para cualquier otro caso.

sea px la probabilidad de éxito de X. Determine px

P=(X=1) es igual a .25 por lo tanto X Bernoulli (.25)

sea py la probabilidad de éxito de Y. Determine py

P= (y=1) es igual a .35 por lo tanto Y Bernoulli (.35)

sea pz la probabilidad de éxito de Z. Determine pz

P= (z=1) es igual a .60 por lo tanto Z Bernoulli (.60)

¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?

Si

¿Es pz igual a PY y PY?

Si

Se lanza una moneda de 1y 5 c. sean X=1 si sale cara en la moneda de 1c y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale cara en la moneda de 5c y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale cara en ambas monedas y Z =0 en cualquier otro caso.

sea px la probabilidad de éxito de X. Determine px.

Ny=1 salga cara en la moneda de 1.

P(X=1)=5 por lo tanto X Bernoulli (0)

Px= (0) (1-.5) + (1) (.5)=p5

Sea py la probabilidad de éxito de X. Determine py

Y=1 cuando salga la moenda de 5 p(x=1)=5 por lo tanto x Bernoulli

Py= {0} (1-.5) +(1) (.5) =p5

Sea pz la probabilidad de éxito de X. Determine pz.

{2=1} cuando cara en las dos monedas.

P(z=2)=.5 por lo tanto X Bernoulli. Pz (2)(1-.5) + (1)(.5)= 2 = .5

¿Son X y Y independientes?

Si son independientes X y Y.

Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. sea z=XY.

Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.

Puestoq ue los valores de XyY son 0 y 1, los valores posibles del producto Z=xy son también 0y1 por tanto Z=0 y ya sea X,Y o ambas, también son iguales a 0 por lo que nuevamente Z=XY.

Demuestre si XyY son independientes, entonces Pz= PxPy

Pz=P(z=1)=P(xy=1)=P(x=1yY=1)=P(x=1)=PxPy

DISTRIBUCION BINOMIAL

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?

B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

2.¿Y cómo máximo 2?

2

Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

1. Las cinco personas.

B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

2.Al menos tres personas.

3.Exactamente dos personas.

3

Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?

1. Ningún paciente tenga efectos secundarios.

B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97

2.Al menos dos tengan efectos secundarios.

3.¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?

4

En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes.

Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.

1. Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.

2. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

5

La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

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