Probabilidades

PROBABILIDADES[pic 1]

Experimento aleatorio: Es aquel cuyo resultado no puede preverse pues, aunque la experiencia se repite en condiciones iguales, el resultado será variable. Interviene el azar.

Ej: Lanzar 2 veces una moneda.

Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.  Se denotará como E (o bien como omega Ω).  Cada resultado del espacio muestral, se denomina punto muestral.

Ej:                 [pic 2][pic 3]

Evento: Subconjunto de un espacio muestral. Se denotan con letras mayúsculas. (A, B, C, …)

Ej: A: Obtener 2 caras

        [pic 4][pic 5]

Sucesos: Un elemento del espacio muestral.  

Conteo de puntos muestrales:

Regla de la suma: Si un objeto A puede ser escogido de m maneras distintas y otro objeto B de n maneras distintas. Entonces existen (m + n) maneras de escoger A o B.

Regla de la multiplicación: Si una operación puede realizarse en [pic 6] formas, y por cada una de esas, una segunda operación puede realizarse  [pic 7], entonces las dos operaciones pueden realizarse [pic 8] veces.

Por ejemplo: Si una moneda se lanza al aire, se puede obtener cara o sello, dos resultados posibles, si una segunda moneda se lanza al aire, también puede resultar en cara o sello, es decir, dos resultados, lo que significa que el total de resultados es[pic 9].

Diagrama de árbol es una representación gráfica que permite visualizar un experimento de pasos múltiples.

Diagrama de árbol para el lanzamiento de dos monedas:

Primera              Segunda                 Resultado

Moneda              Moneda                Experimental

                [pic 10]

                                                                (C, C)[pic 11][pic 12][pic 13]

[pic 14][pic 15][pic 16]

                                                                (C, S)[pic 17]

[pic 18][pic 19][pic 20]

                                                                (S, C)[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

                                                                (S, S)[pic 24]

Total de resultados:     n: número de monedas[pic 25]

Combinaciones: Otra regla de conteo útil le permite contar el número de resultados experimentales cuando el experimento consiste en seleccionar r objetos de un conjunto (usualmente mayor) de n objetos. Es un arreglo, donde no importa el orden.

El número de combinaciones de n objetos distintos, tomados de r en r es:

[pic 26]

Ejemplos:

1. De un grupo de 15 personas, ¿cuántos grupos formados por 3 personas se pueden seleccionar?

[pic 27]

1. En un curso de 12 hombres y 15 mujeres, se seleccionan al azar 3 hombres y 3 mujeres. ¿de cuántas formas se puede hacer la selección?

[pic 28]

Ejercicios propuestos:

1. En una muestra de 25 personas, se debe seleccionar a 6. ¿de cuántas formas se pueden seleccionar si no importa el orden de selección?                                (177.100)

1. A una reunión de personal acuden 30 empleados. Se decide constituir comisiones de seis empleados para estudiar un cierto proyecto. ¿Cuántas comisiones diferentes se pueden formar?                                                                          (593.775)

1. En un curso de capacitación asisten 15 personas. ¿De cuántas formas se puede seleccionar un grupo de 4 personas?                                            (1.365)

1. De un total de cinco ingenieros y siete contadores se forma un comité de dos ingenieros y tres contadores.  ¿Cuántos comités distintos se pueden formar?                       (350)

Definición de Probabilidad

La probabilidad de que un evento o suceso ocurra es el cuociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

                        [pic 29]

Donde:  P(A) denota la probabilidad del evento A

         [pic 30] denota el número de casos favorables

         [pic 31] denota el número de casos posibles de ocurrencia del experimento.

OBSERVACIONES:

1. La probabilidad de un evento cierto es 1.
2. La probabilidad de un evento imposible es 0.
3. Para cualquier evento A, se tiene que la probabilidad de A, denotada por P(A), es:

[pic 32]

1. Si A y B son eventos complementarios entonces:

[pic 33]                [pic 34]        [pic 35]

Ejemplos:

1. Si el evento A es: “obtener un 5 en el lanzamiento de un dado”, el complemento de A (AC) es: “no obtener un 5 en el lanzamiento de un dado”.

 [pic 36][pic 37]

         [pic 38]                [pic 39]

1. Si el evento A es: “obtener dos caras en el lanzamiento de dos monedas”, el complemento de A es: “obtener a lo más una cara en el lanzamiento de dos monedas”

[pic 40]                [pic 41]

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN Y DE LA INTERSECCIÓN DE DOS EVENTOS

Sean A y B dos eventos del espacio muestral E.

Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad que ocurra la unión de los dos está dada por:        

[pic 42].

Ejemplos:

1. Sean los eventos:

 A: Obtener un 5 en el lanzamiento de un dado.

 B: Obtener un 3 en el lanzamiento de un dado

La probabilidad de obtener un 5 o un 3 es:

[pic 43]

1. Sean los eventos:

A: Obtener menos de un 5 en una prueba.

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