Problemas Sesion 3.

 Modelado y Simulación de Sistemas Complejos

Máster en Ingeniería Matemática UC3M Curso 2012

Lino Gustavo Garza Gaona

Problemas Sesión 3

Characterization and properties of orthogonal polynomials with respect to L.

Theorem. Let the linear functional L and the associated function FL be given as

⎛⎞

±±

  L

[pic 1]L|‡|

[pic 2]⎠ := L|J−|, 1, ±∈ Z, L| ∈ C.

⎝

|=1|=1

1. [Analítico]. La contraparte del Teorema de Sarovskii tambiŽn es cierta. Muestre que la aplicaci—n lineal

definida en [1, 5] por ⎧ 2x + 1 si1 ≤ x ≤ 2,

[pic 3]

⎨ −x + 7 si2 ≤ x ≤ 3,

f (x) =

−2x + 10 si 3 ≤ x ≤ 4,

[pic 4]

⎩

−x + 6 si4 ≤ x ≤ 5

tiene una —rbita peri—dica de periodo 5 pero no una —rbita peri—dica de periodo 3.

Solución.

Si hacemos el diagrama de telara–a de f (x) podemos ver que efectivamente existe una —rbita de periodo

5. El ciclo es {1, 3, 4, 2, 5}.

[pic 5]

Sin embargo, al graficar f 3(x) se puede ver que no existe una —rbita de preiodo 3.

[pic 6]

3.         [Analítico]. Encuentre la condici—n bajo la cual la densidad de probabilidad invariante ρ es igual a 1 (esto es, la medida de Lebesgue) para la aplicaci—n tienda asimŽtrica definida por

⎧

b

[pic 7]ax si 0 ≤ x ≤ ,

Ta,b(x) = ⎨ a + bb

[pic 8]

⎩b(1 − x) si ≤ x ≤ 1.

a + b

Solución.

Utilizando la ecuaci—n de Perron-Frobenius vista en clase, esto es

k ρ(yi)ρ(x) = , (1)

| f'(yi)|

i=1

podemos encontrar las condiciones sobre a y b. Primero calculamos las preim‡genes, que son y/a y 1 − y/b y la derivada de nuestra funci—n tienda

⎧

b

[pic 9]a si 0 < x <,

a,b(x) = ⎨

T'        a + b

b

[pic 10]

⎩−b si < x < 1.

a + b

Luego aplicando esto a la ecuaci—n (1) tenemos

ρ(y/a) ρ(1 − y/b)

ρ(x) =+ .

|a| |− b|

Como imponemos que ρ(x) = 1 obtenemos

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