Problemas de Limites

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Cálculo de límites

Contenido de esta página:

• Breve Introducción
• Inderminaciones y Procedimientos
• 50 Límites Resueltos paso a paso

Páginas relacionadas:

• Regla de L'Hôpital
• Funciones definidas a trozos
• Asíntotas de funciones
• Continuidad de funciones
• Foro de ayuda

1. Introducción

En ocasiones, al calcular límites encontramos ciertas expresiones cuyos valores no conocemos a priori. Son las llamadas indeterminaciones. Para algunas de ellas existen reglas que nos permiten calcular su valor (como en el caso de 1 ∞ ). Pero la mayoría de las indeterminaciones no se resuelven de un modo tan directo, sino que debemos realizar una serie de operaciones o cálculos para poder determinar sus valores.

Debemos decir que en realidad, el cálculo diferencial nos proporciona un método muy efectivo y sencillo bajo ciertas condiciones: la Regla de L'Hôpital. Pero no emplearemos esta regla ya que tenemos una sección especialmente dedicada a ella: límites por L'Hôpital.

Veamos cuáles son las indeterminaciones mencionadas anteriormente y algunos procedimientos que se pueden utilizar para resolverlas:

2. Indeterminaciones y Procedimientos

• Cociente de infinitos:

∞∞∞∞

Puede aparecer en cocientes muy variados: polinomios, raíces, exponenciales... En cada caso se procederá de forma distinta.

• Resta de infinitos del mismo orden:

∞−∞∞−∞

Suele ocurrir cuando tenemos una resta de raíces o de exponenciales. En el primer caso, se multiplica y divide por el conjugado (si las raíces son cuadradas). En el segundo, multiplicamos y dividimos por la exponencial de base mayor.

• Uno elevado a infinito:

1∞1∞

Aplicamos la siguiente fórmula:

[pic 1]

donde las funciones f, g y h las conocemos. La fórmula que aplicamos es la segunda igualdad.

• Cociente de ceros:

0000

Suele aparecer en los límites en un punto finito cuando el denominador se anula. Normalmente será un polinomio y podremos factorizarlo.

• Infinito elevado a 0:

∞0∞0

Usamos los logaritmos para aprovechar sus propiedades, que son

[pic 2]

• Cero elevado a cero:

0000

Aparece en las exponenciales. Usamos logaritmos como en el caso anterior.

• Cero por infinito:

0⋅∞0⋅∞

Otros procedimientos que suelen funcionar:

• Expresiones con exponenciales

Sabemos que el orden del infinito de una exponencial es mayor que el de una potencia o el de un logaritmo. Pero si tenemos varias exponenciales, multiplicamos y dividimos por la que tenga mayor base.

• Sean los polinomios (de grados p y q)

[pic 3]

Entonces,

[pic 4]

Notemos que el resultado del primer caso será infinito, pero multiplicamos por el cociente para saber el signo (positivo o negativo).

X

3. 50 Límites Resueltos

Límite 1

[pic 5]

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Límite 2

[pic 6]

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Límite 3

[pic 7]

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Límite 4

[pic 8]

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Límite 5

[pic 9]

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Límite 6

[pic 10]

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Límite 7

[pic 11]

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Límite 8

[pic 12]

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Límite 9

[pic 13]

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Límite 10

[pic 14]

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Límite 11

[pic 15]

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Límite 12

[pic 16]

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Límite 13

[pic 17]

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Límite 14

[pic 18]

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Límite 15

[pic 19]

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Límite 16

[pic 20]

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Límite 17

[pic 21]

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