Problemas de dinámica

Módulo 1. Introducción

1. Considere la función [pic 1]

1. Obtenga la tasa de crecimiento de “y” si el tiempo es continuo en función de las tasas de crecimiento de las variables “x”
2. Si , ¿cuál es la tasa de crecimiento de y?[pic 2]

1. Considere las siguientes trayectorias

[pic 3]

                                                                [pic 4]

1. Obtenga las trayectorias de x(t) que solucionan cada ecuación diferencial. Grafíquelas

1. Obtenga la tasa de crecimiento de [pic 5]

1. ¿Existe un equilibrio estable de largo plazo? ¿Convergen a él?

Módulo 2. Modelo de Solow

1. La función de producción es . La empresa representativa busca maximizar sus ganancias que son iguales a [pic 6][pic 7]

1. Demuestre que en el máximo el salario será igual a la productividad marginal del trabajo mientras que la tasa de retorno del capital será igual a la productividad marginal del capital menos la tasa de depreciación
2. Demuestre que entonces el pago total a los factores   será igual a . ¿Qué significa este resultado?[pic 8][pic 9][pic 10]

1. La función de producción de la economía es igual a
    , la tasa de ahorro es de 0.1, la tecnología crece al 0.01, la población al 0.01 y la tasa de depreciación es de 0.05. Inicialmente el capital, la fuerza laboral y la tecnología son iguales a 2, 3, y 4 respectivamente. [pic 11][pic 12]

1. Encuentre el nivel de capital, ingreso, y consumo por unidad efectiva del equilibrio estacionario.
2. Encuentre, también para esta función, los niveles de capital, ingreso y consumo por trabajador en el equilibrio estacionario en el periodo 20 ( t=20).
3. Estime el salario en el equilibrio estacionario dado que éste es igual a la productividad marginal del trabajo en el periodo 20
4. Estime el retorno del capital en el equilibrio estacionario
5. ¿Cumple con los hechos estilizados de Kaldor con relación a la razón capital-producto, las participaciones de los factores y la evolución en el tiempo del salario y del precio renta del capital?

1. Utilice las gráficas del modelo de Solow para simular una reducción en la tasa de crecimiento de la fuerza laboral (como motivación en México esta tasa de crecimiento tiende a reducirse lentamente). Concretamente, asuma en el problema 2 que la población deja de crecer, obtenga los nuevos valores de k*, y*, c* y compárelos con los del problema 1. Discuta las razones del cambio.

1. Ahora, para la economía descrita en el problema 2 encuentre:

1. La tasa de ahorro y de capital por unidad efectiva del equilibrio estacionario que maximizan el consumo per cápita de equilibrio estacionario
2. Verifique que en ese punto la productividad marginal del capital es igual a 0.07, que es igual a [pic 13]
3. Obtenga el valor del consumo per cápita máximo que se logra en el periodo 20

1. Considere el modelo de Solow con capital humano descrito en el capítulo 3 de Jones & Vollrath (2013). La función de producción es  , la tasa de ahorro es de 0.2, el retorno del capital humano es de 0.1, la escolaridad de los adultos es de 12 años, el crecimiento de la población es de 0.01, la tecnología en el periodo cero es igual a 1 y crece a 0.01 por periodo. Con esta información obtenga el producto per cápita de la economía en el periodo 20.[pic 14]

1. Considere la siguiente información

El gorro arriba de las variables indica que se expresan en forma relativa a Estados Unidos, por ejemplo, Asuma que . [pic 18][pic 19]

1. Estime los ingresos per cápita relativos a Estados Unidos de estas economías en el equilibrio estacionario para dos casos: (1) las razones de los TFP de 1990 se mantienen como en 1990; (2) convergen completamente.
2. Asuma que se logra llegar al equilibrio estacionario en el 2007, ¿Qué economías crecen más rápido? ¿Cuáles más lento? ¿Porqué? Se requiere el cálculo y la interpretación para los dos casos mencionados en el inciso anterior.

Módulo 3. La economía de las ideas

1. Imagine que, Y es el número de vacunas contra el COVID19, y L es el esfuerzo o trabajo que se requiere para producirlas. La función de producción es . Piense que F es la cantidad de trabajo que se requiere para inventar la vacuna, y una vez que se obtiene la primera vacuna entonces ya se replica el resto. El salario es igual a 1000[pic 20]

1. Encuentre los costos totales de la producción de vacunas como función de Y
2. Demuestre que los costos marginales son menores a los medios, y demuestre que, si pone el precio igual al costo marginal, entonces los beneficios de la empresa son negativos[pic 21]

1. La función de producción de la economía es igual a
    , la tasa de ahorro es de 0.1, la tasa de crecimiento de la población es 0.01 y la tasa de depreciación es de 0.04. En esta economía se dedica el 0.05 de la población total para investigar y desarrollar nuevas ideas, y 0.95 para la producción corriente. Las nuevas ideas siguen la siguiente función . Tanto A, K y L son igual a 1 en el periodo inicial (t=0).[pic 22][pic 23][pic 24]

1. ¿Qué implica que   aparezca en la función de nuevas ideas elevado a la 0.5 en lugar de a la 1? [pic 25]
2. ¿Qué implica que  aparezca en la función de nuevas ideas elevado a la 0.5 en lugar de a la 1? [pic 26]
3. Encuentre la tasa de crecimiento del ingreso per cápita en el equilibrio estacionario
4. Imagine que en el periodo 10 (t=10) se incrementa la proporción de investigadores entre la población, ahora es 0.1, en lugar de 0.05. Discuta que sucede con la tasa de crecimiento de la tecnología en el equilibrio estacionario, ¿qué sucede con el stock de ideas en la senda de equilibrio estacionario?
5. Grafíque el lnA* contra el tiempo.

1. Ahora, para la economía descrita en el problema 2 encuentre:

1. El ingreso per cápita (y=Y/L) de equilibrio estacionario como función de  que es la proporción de investigadores, es decir ya no fije esa proporción en 0.05 o 0.1 sino déjela libre.[pic 27]
2. Obtenga la proporción de investigadores  que maximiza el consumo per cápita de esta economía. Obtenga el consumo per cápita máximo como función del tiempo.[pic 28]
3. Verifique que una proporción de investigadores de 0.05 más que la que encontró en (b) nos da un consumo per cápita menor que el de (b).

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