Regla de la cadena para el caso de las funciones
Enviado por danieldtecuan • 23 de Febrero de 2014 • Trabajo • 883 Palabras (4 Páginas) • 757 Visitas
2.3 Regla de la cadena
Recordemos la regla de la cadena para el caso de las funciones de en :
.
Para las funciones de varias variables hay 3 casos de la regla de la cadena:
A. REGLA DE LA CADENA (CASO 1). Si y ambas variables y depende de una tercera variable , y , entonces depende de y su derivada respecto a se determina como:
.
El siguiente diagrama es útil para recordar la fórmula anterior:
Ejemplo. Obtener si , y .
Solución. .
Ejemplo. Dos lados de un triángulo tienen longitudes y , y el ángulo entre ellos es . Si crece con una rapidez de , y lo hace a , mientras permanece constante, ¿a qué rapidez cambia el tercer lado? ¿Está creciendo o decreciendo?
Solución. La longitud del tercer lado se obtiene de la ley de los cosenos:
y como , entonces . Por el contexto del problema es claro que las variables y dependen del tiempo , por lo tanto depende del tiempo . Aplicando la regla de la cadena,
,
pero y cuando y , entonces
.
El tercer lado está creciendo a razón de .
Si ahora tenemos una función de tres variables y las variables dependen de : , y , entonces depende de y su derivada se obtiene como:
.
Ejemplo. Longitud , ancho y altura de una caja rectangular crecen a razón de , y , respectivamente. Determine la razón de cambio del volumen y de la diagonal cuando , y .
Solución. El volumen de la caja es y su diagonal es , las derivadas de ambas funciones respecto al tiempo son:
Puesto que , , y cuando , y , entonces
y
El volumen y la diagonal de la caja crecen a razón de y , respectivamente.
Ejemplo. Suponga que una ave vuela a lo largo de la curva helicoidal , , . El ave súbitamente se encuentra con un frente de aire de tal manera que la presión barométrica varía de un punto a otro como . (a) Determine la razón de cambio de la presión cuando . (b) Verifique el resultado de (a) por sustitución directa. (c) Cuál es el valor aproximado de la presión cuando .
Solución. Notemos que depende de las variables , y , pero a su vez éstas dependen de por lo que depende finalmente de .
(a) Aplicando la regla de la cadena,
Por lo tanto,
Es decir, cuando , la presión decrece a razón de .
(b) Sustituyendo en ,
Por lo tanto,
(c) Coma ya conocemos el valor de la derivada de en , podemos estimar el valor de la presión en mediante la linealización de alrededor del punto base como sigue:
Es decir, .
B. REGLA DE LA CADENA (CASO 2). Si
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