Regla de la Cadena en Composición de Funciones

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Regla de la Cadena en Composición de Funciones

[pic 4]

Definición : Dada una función

vectorial  0  À E © ‘8 Ò ‘7,con

0  œ Ð01ß         ß 07Ñß

llamaremos la derivada de 0 en + a H0 Ð +Ñ una matriz de orden 7 ‚ 8 definida por la[pic 5][pic 6]

matriz que en la posición Ð3ß 4Ñ aparece la derivada parcial

H0 Ð +Ñ es la matriz[pic 7]

[pic 8]

`03Ð +Ñ . En particular si 7 œ 1

4[pic 9]

H0 Ð + Ñ œ Ð[pic 10]

`0 ( +Ñ

1[pic 11][pic 12]

`0 ( +Ñ . . . . .

2[pic 13][pic 14]

 `0 ( +ÑÑ.

8[pic 15][pic 16]

Ejemplo 19.- Encuentra la derivada de punto Ð1ß  1ß 2Ñ.

W96 À

0 ÐBß Cß DÑ œ ÐBC2  =/8BDß CD2  BCDÑ ß en  el

H0 ÐBß Cß DÑ œ Œ        ß evaluando en Ð1ß  1ß 2Ñ, se obtiene lo buscado

H0 Ð1ß  1ß 2Ñ œ        1  2s9=Ð2Ñ         2        s9=Ð2Ñ[pic 17]

2        %  2         %  1

si

mplificando queda:

H0 Ð1ß  1ß 2Ñ œ        1  2s9=Ð2Ñ         2        s9=Ð2Ñ        .[pic 18][pic 19]

2        2         $

Recordar que del algebra lineal cada matriz define una transformación lineal, en este caso la matriz derivada de una función vectorial H0 Ð +Ñ define la transformación[pic 20]

lineal llamada la diferencial de 0 en +anotada por d0 Ð +Ñ.[pic 21][pic 22]

Ejemplo 20.-  Encuentra la diferencial de 0 ÐBß Cß DÑ œ ÐBC2  =/8BDß CD2  BCDÑ ß en el punto Ð1ß  1ß 2Ñ.

W96 À H0 Ð1ß  1ß 2Ñ

Î 2 Ñ

5

Ï 6 Ò

a1  2s9=Ð2Ñb2  25  6s9=Ð2Ñ œ Œ        22  25  $6

ß luego la diferencial

es la transformasción lineal de d0 Ð1ß   1ß 2Ñ À ‘$   Ò ‘2 definida por:

d0 Ð1ß   1ß 2ÑÐ2ß 5ß 6Ñ œ aa1  2s9=Ð2Ñb2  25  6s9=Ð2Ñß 22  25  $6b.

Ejemplo 21.- Dadas        las        funciones

1Ðuß @ß AÑ œ Ðu2  @2ß u@AÑß encuentra 0 ‰ 1.

0 ÐBß CÑ œ B2C  =/8ÐBCÑ        y

W96 À

a0 ‰ 1b Ðuß @ß AÑ œ 0 Ðu2  @2ß u@AÑ œ Šau2  @2b2u@A   =/8au2  @2bu@A‹.

En        general        dada        una        función        vectorial

1 À Y  © ‘: Ò ‘8ß

donde

u œ Ðu1ß u2ß .........ß u:Ñ  − Y y        1 œ Ð11ß 12ß ...........ß 18Ñà y        una        función        vectorial[pic 23]

1. À E © ‘8 Ò ‘7,        donde        B − E es        de        la        forma B œ ÐB1ß B2ß ........ß B8Ñ        y[pic 24][pic 25]

[pic 26]

0  œ Ð01ß 02ß .........ß 07Ñ. Si b œ  Ðb1ß b2ß .........ß b:Ñ  − Y  y 1Ðb1ß b2ß .........ß b:Ñ  − E.

Intonces, a0 ‰ 1bÐuÑ œ[pic 27]

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