Respuesta en frecuencia | Señales y Sistemas

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Universidad Nacional Autónoma de México 

Facultad de Ingeniería

Señales y Sistemas

Semestre 2020-2

RESPUESTA EN FRECUENCIA

Profesor: Aguado Cruz, Edgar Baldemar

Alumno: Núñez Trejo, Emilio

Fecha: 12 de mayo del 2020

Correo electrónico: emalent@gmail.com

Respuesta en frecuencia

Introducción

Para analizar un sistema se debe obtener el modelo matemático del mismo. Una vez obtenido el modelo, existen varios métodos para el análisis del comportamiento del sistema.

En el problema de análisis, una señal de entrada de referencia se aplica al sistema, y el desempeño del sistema se evalúa al estudiar la respuesta del sistema en el dominio del tiempo. En la mayoría de los sistemas, la evaluación final del desempeño de un sistema se basa en las respuestas en el tiempo.

Estas señales permiten realizar análisis experimentales y matemáticos con facilidad ya que son funciones muy simples del tiempo, fáciles de representar matemáticamente y experimentalmente.

• Entrada función escalón: La entrada función escalón representa un cambio instantáneo en la entrada de referencia.
• Entrada función rampa: La función rampa es una señal que cambia constantemente en el tiempo.
• Entrada función parabólica. La función parabólica representa una señal que tiene un orden más rápido que la función rampa.
• Respuesta transitoria: Se define como la parte de la respuesta en el tiempo que tiende a cero cuando el tiempo va a infinito.
• Respuesta en estado estable: La respuesta en estado estable es la parte de la respuesta total que permanece después que la respuesta transitoria ha desaparecido.

1. Respuesta en estado senoidal permanente y concepto de la respuesta en frecuencia

En un estado estacionario de un sistema LTI ante una entrada senoidal no se depende de las condiciones iniciales, por lo que se deben suponer condiciones iniciales nulas.

Una de las ventajas que ofrece la respuesta en frecuencia de un sistema es que mediante pruebas sencillas se puede determinar de forma experimental su función de transferencia utilizando generadores de onda y equipos de medición de uso frecuente en los laboratorios.

La respuesta en frecuencia de un sistema, también se puede definir cómo: La representación de la magnitud y fase de la función de transferencia G(jω), en función de la frecuencia angular ω. Proporciona medios convenientes para obtener la respuesta en el estado estable para cualquier sistema lineal sujeto a una señal senoidal.

Imagen 1. Sistema lineal afectado por entrada senoidal y respuesta en el tiempo.

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 El procedimiento para obtener la respuesta en cuatro pasos, es:

1. Se obtiene la función de transferencia para el componente o sistemas a analizar. Es decir:

F (s) = C(s) / R(s)

Donde C (s) es la transformada de la salida y R(s) la transformada de la entrada, y donde se han despreciado todas las condiciones iniciales porque se vio no afectada la respuesta en estado estable.

1. En la función de transferencia se sustituye s.
2. Para varios valores de frecuencia ω, se determina la relación de Magnitud M (ω) y el ángulo de fase φ (ω).
3. Es posible graficar los resultados de 3 en coordenadas polares o rectangulares.

El diseño de un sistema basado en este procedimiento, se funda en la interpretación de las características de respuesta a la frecuencia. Este análisis de un sistema, indica gráficamente qué modificaciones hay que hacer en la función de transferencia para obtener las características deseadas de respuesta transitoria.

La información obtenida por el análisis senoidal puede usarse para establecer la naturaleza de la respuesta a una gran variedad de señales. Además, el análisis es conveniente para manejarlo matemática y experimentalmente.

2. Representación de gráficas mediante las trazas logarítmicas de Bode y la traza polar de Nyquist

2.1 Trazas logarítmicas de Bode

Un diagrama de Bode representa la función de transferencia senoidal G(jω) mediante dos gráficas distintas, utilizando un eje de abscisas común en escala logarítmica para la frecuencia ω (rad/seg) y una escala lineal para los ejes de ordenadas:

• Expresada en dB (20log|G(jω)|) para la gráfica de magnitud.

• Expresada en grados para la gráfica de ángulo de fase.

La utilización de una escala logarítmica para ω permite representar en un solo diagrama las características de alta y baja frecuencia de G(jω).

Imagen 2. Representación logarítmica de Bode.

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Procedimiento general para trazar:

1. Reescribir la función de transferencia senoidal G(jω) como producto de los factores básicos.
2. Obtener los trazados individuales de cada factor básico, y representarlos.
3. Sumar todos los trazados: los de magnitud o módulo entre sí (en dB) y los de ángulo o fase entre sí (grados).
4. Si se desea registrar una aproximación rápida, se puede hacer el trazado asintótico.

2.2 Traza polar de Nyquist

El diagrama de Nyquist, también es conocido como “La Traza Polar” de una función de transferencia senoidal G(jω), es una gráfica de la magnitud de G(jω) contra el ángulo de fase de G(jω) en coordenadas polares, conforme ω varía de cero a infinito. Por tanto, El diagrama de Nyquist es el lugar geométrico de los vectores:

|G(jω)|/ G(jω)

Observe que, en las gráficas polares, los ángulos de fase son positivos (negativos) si se miden en el sentido contrario de las manecillas del reloj (en el sentido de las manecillas) a partir del eje real positivo.

Imagen 3. Ejemplo de diagrama de Nyquist.

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3. Cálculo de la respuesta en frecuencia mediante simulación digital

A continuación, se describe la simulación digital haciendo uso del programa MATLAB.

3.1 Simulación digital de Bode

Sintaxis:

bode(sys)

bode(sys1,sys2,...,sysN)

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