SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

CAPITULO Nº 2

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

2.1 OBJETIVOS: Al finalizar la unidad el alumno debe estar en capacidad de.

◦ Identificar  y diferenciar los elementos de los diferentes conjuntos numéricos

◦ Reconocer las diferentes propiedades de los números reales

◦ Operar en los distintos conjuntos numéricos y utilizar sus propiedades para simplificar los procesos

 ◦ Aplicar los números reales en la resolución y planteamiento de problemas del saber específico

2.2 INTRODUCCIÓN: La idea central aquí es hacer un breve recorrido por los distintos conjuntos numéricos hasta llegar a los números reales, por ser este conjunto el más general y utilizado en todo curso de matemática.  La historia de la matemática da cuenta de que la construcción de los diversos conjuntos numéricos ha obedecido a necesidades tanto de la humanidad como de la matemática misma;  para los fines aquí perseguidos, el conjunto de los números reales será introducido partiendo de los números positivos los cuales constituyen la base para los números racionales, estos para los números irracionales y finalmente dar el salto a los reales y sus propiedades.

2.3  NÚMEROS NATURALES: El conjunto de los números naturales simbolizado por Ν, surgió como una necesidad del hombre primitivo de contar los objetos de la naturaleza, cuya descripción está dada por               Ν = {1,2,3,...,}. Aquí los puntos suspensivos indica la continuación indefinida de los elementos.

2.4 NÚMEROS ENTEROS: Este conjunto surgió como una necesidad de ampliar los números naturales, ya que estos bien pronto presentaron limitantes para la solución, por ejemplo de ecuaciones como  x + a = b; este conjunto está denominado por Z y formado por los números naturales, el cero y los opuesto de los naturales, es decir,  Ζ = {...,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...}.

2.5  NÚMEROS RACIONALES: Este conjunto es construido por razones entre números enteros, esto es, todo número racional tiene la forma  [pic 1], donde a y b son números enteros con  b ≠ 0.

Es preciso señalar que el origen de dicho conjunto obedeció también a la necesidad de ampliar los números naturales, de tal forma que ecuaciones de la forma   ax  = b siempre tengan soluciones;  su simbolización es Q y se describe como  [pic 2].

OBSERVACIÓN: Según lo visto anteriormente, los números racionales están formados por.

Los números enteros, como  [pic 3], etcétera.  

b) Los decimales finitos, como  [pic 4] y  

 c) Los decimales infinitos periódicos (puros y mixtos), como  [pic 5].

2.6 NÚMEROS IRRACIONALES: Este conjunto está formado por los números que no pueden ser expresados como cociente de dos enteros y se simboliza por Q'.  Son números irracionales entre otros,   los decimales infinitos no periódicos, como π  y  1,4142...  y  las raíces de cualquier índice que después de ser simplificadas originan una nueva raíz, como  [pic 6]; [pic 7]; [pic 8]  y  [pic 9].

2.7 NÚMEROS REALES: Este conjunto está formado por la unión de los  racionales y los irracionales, esto es, R = Q ∪ Q′; los números reales son usados para representar cantidades continuas.

2.7.1  PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales goza de  las siguientes propiedades, agrupadas en tres bloques para una mejor comprensión.

1. Propiedades de la adición.

P1: Clausurativa: Si a,b εR, entonces a + b es también un número real

P2: Asociativa: Si a,b,c εR, entonces (a + b) + c = a + (b + c)

P3: Existencia del elemento neutro aditivo: Existe un número real denotado por cero, de tal forma que para cualquier número real “a”, se cumple que  a +0 = 0 + a = a.

P4: Existencia del inverso aditivo: Para todo real “a”, existe otro número real “− a”, llamado inverso aditivo de “a”, tal que a + (− a) = (− a) + a = 0.       P5: Conmutativa: Si  a,b εR, entonces a + b = b + a

1. Propiedades de la multiplicación 

 P1: Clausurativa: Si a,b εR, entonces a × b es también un número real

P2: Asociativa: Si a,b,c εR, entonces (a × b) × c = a × ( b × c)

P3: Existencia del elemento neutro multiplicativo: Existe un número real denotado por uno, de tal forma que para cualquier número real “a”, se cumple que  a × 1 = 1 × a = a.

P4: Existencia del inverso multiplicativo( recíproco): Para todo número real “a ≠ 0”, existe otro número real “a-1”, llamado inverso multiplicativo de “a”, tal que  a × a-1 = a-1 × a = 1.

P5: Conmutativa: Si  a,b εR, entonces a × b = b × a

P6: Distributiva del producto respecto a la adición: Si a,b,c εR, entonces a × (b + c) = a × b + a × c

P7: Anulativa: Para todo número real “a” se tiene que a × 0 = 0 × a = 0

1. Propiedades de la igualdad:

 P1: Reflexiva: Si a εR, entonces a = a, esto es, todo número real es igual a si mismo.

P2: Simétrica: Para cualesquiera a,b εR, si  a = b entonces  b = a

P3: Transitiva: Para cualesquiera a,b,c εR, si  a = b  y  b = a   entonces  a = c  

P4: Uniforme respecto a la adición: Para todo  a,b,c εR, si  a = b  entonces a + c = b + c  

P5: Uniforme respecto a la multiplicación: Para  a,b,c εR, si  a = b entonces a × c = b × c

P6: Productos nulos: Para  a,b εR, si  a × b = 0 entonces  a = 0 ∨ b = 0

P7: Para  a,b εR, entonces se cumple que − (a × b) = (−a)(b) = a × (−b)

P8: Si a εR, entonces  (−1) × a = − a   y   − (− a) = a

P9: Para cualesquiera a,b,c,d εR,  si  [pic 10]  entonces se cumple que a × d = b × c.

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