Situaciones Típicas - Teoremas y demostraciones

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO[pic 3]

UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS EDUCATIVAS

NODO ZIHUATANEJO

ASESOR: M. C. EFRÉN MARMOLEJO VEGA

ENSAYO:

SITUACIONES TÍPICAS

TEOREMAS Y DEMOSTRACIONES

POR:

CARLOS VÁZQUEZ LÓPEZ

ZIHUATANEJO GUERRERO A 29 DE MAYO DEL 2010

Introducción. 

Es claro el papel que juegan las demostraciones en el ámbito de las matemáticas, pero al parecer aún no lo es tanto su rol en la enseñanza de esta ciencia, algunos investigadores en didáctica de la matemática desestiman el valor de la demostración en la construcción del conocimiento matemático, y afirman que su estudio en los salones de clase puede generar problemas de aprendizaje en algunas personas, sobre todo para aquellos que no estudian para ser matemáticos y que no están obligados a apreciar la importancia de los teoremas y demostraciones matemáticos ni mucho menos compartir su misma motivación.

Para los profesores de matemáticas en carreras que formarán profesionistas no matemáticos, es una experiencia diaria la dificultad de abordar demostraciones en el aula de clase por la predisposición de los estudiantes que ven en ellas una actividad innecesaria en la cual son sujetos pasivos, y para la cual no están preparados, -ni interesados-, por lo que al no encontrar aplicaciones inmediatas, exigen un esfuerzo mental muchas veces frustrante que debería ser usado tal vez en abordar problemas de aplicación relativos a sus carreras

La demostración en la enseñanza de las matemáticas cumple un papel que va más allá del hacer evidente la veracidad de un teorema matemático o del descubrimiento de uno nuevo, más bien sigue siendo herramienta fundamental en

el quehacer matemático, en la formación del pensamiento lógico del individuo y en otros valores agregados.

Las demostraciones dejan de ser un producto personal del matemático para convertirse en un bien colectivo que puede ser criticado y controvertido en todos y cada uno de sus aportes por cualquier persona que haga uso de la fuerza de la lógica y la razón. Obviamente para refutar la validez de una demostración es indispensable estar en contexto con el problema que se aborda y hablar un mismo lenguaje, en este caso el “lenguaje matemático”.

Siempre nos preguntamos en que reside la importancia de un teorema en particular, la respuesta es simple,  el teorema adquiere su valor por una de las siguientes características:

• Su aplicación a problemas específicos de modelado al mundo real, no importa si su demostración es trivial.
•  La dificultad de su demostración.
• Los caminos nuevos y potencialidades que se abren en el trayecto de la demostración misma.

Demostración de Teoremas matemáticos.

Para estructurar metodológicamente esta situación típica de enseñanza es conveniente destacar los procesos parciales siguientes.

Búsqueda y demostración de Teoremas Matemáticos.

• Imponer una circunstancia matemática y plantear una tesis. Encontrar una circunstancia y una tesis.
• Buscar  una idea de demostración y plantear un plan de demostración.
• Desarrollar la demostración.
• Vista retrospectiva.

Esta estructuración tiene básicamente dos etapas; Búsqueda del Teorema y búsqueda de la demostración.

Búsqueda del teorema:

• Buscar suposiciones.
• Plantear una tesis.
• Formular un teorema.

Búsqueda de la demostración:

• Buscar una idea de demostración.
• Plantear un plan de demostración.
• Desarrollar la demostración.

El objetivo principal del tratamiento de teoremas no radica en buscar uno u otro teorema y de mostrarlo, sino en capacitar a los alumnos para que ellos puedan buscar y demostrar teoremas, es decir, los alumnos deben adquirir determinadas capacidades.

Dentro de las dos etapas principales, la creación de una motivación desempeña un papel significativo. Esto requiere motivar el tratamiento del teorema, la necesidad de la demostración y delas auxiliares que se utilizan en la demostración.

Procesos parciales en la búsqueda de un teorema y su demostración.

Búsqueda de suposiciones. Es aquí donde los principios heurísticos desempeñan un gran papel. Se podrían nombrar los siguientes: medir, probar y comparar sistemáticamente.

Aplicar analogías. Esto significa que los resultados y métodos de un complejo de materia se transfieran a otro complejo semejante.

Los alumnos podrán hallar suposiciones mediante: mediciones experimentales de

ángulos, longitudes, volúmenes, etc., observaciones de ejemplos parciales, observación de casos especiales, formación de recíprocos de teoremas conocidos, consideraciones de analogía en dominios semejantes, realización de transformaciones geométricas.

Búsqueda de ideas. Aquí el punto de partida debe ser el análisis del problema a demostrar respondiendo las preguntas siguientes; ¿De qué tipo s la proposición a demostrar?¿Es una proposición existencial o es una proposición universal?¿En qué dominio matemático radica el problema a demostrar?¿Es posible ilustrar el problema a demostrar mediante una figura apropiada?¿Cuáles son la premisa y la tesis del teorema?

Para responder la última pregunta es necesario llevar el teorema a la forma de una implicación:    A                B ( Si A… entonces… B). El primer miembro de la implicación representa la premisa del teorema y el segundo miembro, la tesis del teorema.        [pic 4]

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