Informe 5 Demostración de algunos teoremas del Álgebra de Boole y universalidad de compuertas

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INFORME No. 5

DEMOSTRACIÓN        DE        ALGUNOS        TEOREMAS        DEL        ÁLGEBRA        DE        BOOLE Y UNIVERSALIDAD DE COMPUERTAS

Fecha: 28 /12 / 2022

Integrantes:

• Iza Josselyn
• Mena Johan
• Ordoñez Gabriel

Objetivo:

• Comprobar en forma práctica algunos de los teoremas del Álgebra de Boole y aplicar el principio de dualidad.
• Implementación de circuitos digitales con los conjuntos universales AND, OR, NOT, NAND y NOR.

1. Desarrollo

1. Materiales y equipos utilizados

• Detallar
• Puntas lógicas: Instrumentos para la detección de niveles lógicos como son cero y uno.
• Fuente DC 5V: es un dispositivo que proporcionar una señal de tensión continua para la alimentación de circuitos que requieren tensión continua de 5v.
• Compuertas lógicas: son circuitos electrónicos para otorgar señales de salida de manera booleana.
• Luz LED: el diodo LED es una fuente de luz que funciona al recibir corriente.
• Dip-switch: deben funcionar de forma diferente en distintos lugares, para cambiar o para indicar al circuito otro comando que se ha conectado.
• Protoboard: Placa de pruebas para construir circuitos sin necesidad de soldar los elementos Electrónicos.
• Cables: se utilizan con el propósito de conectar compuertas, dip-switch, leds y así funcionar el circuito realizado.

1. Circuitos/Programa implementados.

a)  ((̅𝒙̅̅̅̅𝒚̅)) ∙ (̅𝒙̅̅+̅̅̅𝒚̅) + (̅𝒙 + 𝒚̅)

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Fig.1. Circuito digital de la función a. (Fuente: Propia Logisim )

b)  𝑨̅̅̅𝑺̅𝑹 + 𝑨𝑺𝑹 + 𝑨̅̅𝑺𝑹 + 𝑨̅𝑺𝑹 + 𝑨𝑺̅𝑹 + 𝑨̅𝑺̅𝑹̅

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Fig. 2. Circuito digital de la función b. (Fuente: Propia Logisim)

c)  (𝒑̅ + 𝒒̅) ∙ (̅̅𝒒̅̅̅+̅̅̅𝒑̅̅̅)

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Fig. 3. Circuito digital de la función c. (Fuente: Propia Logisim)

d)  [̅̅(̅𝒑̅̅̅+̅̅̅𝒒̅̅)̅̅∙̅̅𝒒̅̅] + 𝒑

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Fig. 4. Circuito digital de la función d. (Fuente: Propia Logisim)

1. Simplificar las funciones booleanas del literal 1. (Indicar en cada paso de la simplificación el teorema aplicado).

𝒂. ((𝒙̅̅̅̅̅𝒚̅)) ∙ (̅𝒙̅̅+̅̅̅𝒚̅) + (̅𝒙 + 𝒚̅)

(̅𝑥̅̅𝑦̅̅̅+̅̅̅𝑥̅̅𝑦̅) ∙ (𝑥̅ ∙ 𝑦̅) + (𝑥̅ ∙ 𝑦̅)        D´ Morgan concepto XOR

(𝑥̅̅̅̅𝑦̅) ∙ (𝑥̅̅̅̅𝑦̅) ∙ (𝑥̅ ∙ 𝑦̅)        D´ Morgan, idempotencia

(𝑥 + 𝑦̅)  ∙ (𝑥̅ + 𝑦)  (𝑥̅ ∙ 𝑦̅)        Idempotencia, elemento neutro

(𝑥 + 𝑦̅)  ∙ (𝑥̅ (𝑥̅ ∙ 𝑦̅) + (𝑥̅ ∙ 𝑦̅))        elemento absorbente

(𝑥 + 𝑦̅) (𝑥̅ ∙ 𝑦̅)        distributividad

(𝑥 + 𝑦̅) (𝑥̅ ∙ 𝑦̅) ∙ 𝑦̅        elemento complementario, neutro

𝑥̅ ∙ 𝑦̅        D´ Morgan, idempotencia

𝒃. ̅𝑨̅̅𝑺̅𝑹 + 𝑨𝑺𝑹 + 𝑨̅̅𝑺𝑹 + 𝑨̅𝑺𝑹 + 𝑨𝑺̅𝑹 + 𝑨̅𝑺̅𝑹̅

(𝑨̅ + 𝑹̅)𝑅 + (𝐴𝑆 + (𝑨̅𝑺̅  +  𝐴̅𝑆 + 𝐴𝑆)̅   + 𝐴̅𝑆̅𝑅̅        distributividad        D´ Morgan

𝑅 (𝐴̅ + 𝑆̅ + 𝐴𝑆 + 𝐴̅𝑆̅ + 𝐴̅𝑆 + 𝐴𝑆   + 𝐴̅𝑆̅𝑅̅        distributividad

𝑅(𝐴̅(1 + 𝑆̅ + 𝑆) + 𝑆̅(1 + 𝐴) + 𝐴𝑆) + 𝐴̅𝑆̅𝑅̅        distributividad

𝑅(𝐴̅ + 𝑆̅ + 𝐴𝑆) + 𝐴̅𝑆̅𝑅̅        elemento complementario, neutro

𝑅(𝐴̅ + (𝑆̅ + 𝐴) + (̅𝑆 + 𝑆) + 𝐴̅𝑆̅𝑅̅        distributividad

𝑅(𝐴̅ + 𝑆̅ + 𝐴 ) + 𝐴̅𝑆̅𝑅̅        elemento complementario, neutro

𝑅 + 𝐴̅𝑆̅𝑅̅        complementario, neutro,

absorbente

(𝑅 + 𝐴̅) ∙ (𝑅 + 𝑆̅) ∙ (𝑅 + 𝑅̅)        distributividad

𝑅 + 𝐴̅𝑆̅        absorción

𝒄. (𝒑̅ + 𝒒̅) ∙ (̅̅𝒒̅̅+̅̅̅̅𝒑̅̅̅)

(𝑝̅ + 𝑞̅) ∙ (𝑞̅ ∙ 𝑝)        D´ Morgan

(𝑝̅ + 𝑞̅ + 𝑞̅ ∙ 𝑞̅) ∙ 𝑝        distributividad, asociatividad

𝑝𝑝̅𝑞̅ + 𝑝𝑞̅        distributividad idepotencia

𝑝𝑞̅        elem. complementario, elem. neutro, elem. absorvente

𝒅. ̅[̅(̅𝒑̅̅̅+̅̅̅𝒒̅̅)̅̅∙̅̅𝒒̅̅] + 𝒑

(̅𝑝̅̅+̅̅̅𝑞̅) + 𝑞̅ + 𝑝        D´ Morgan

(𝑝̅ ∙ 𝑞) + 𝑞̅ + 𝑝        D´ Morgan

(𝑝̅ + 𝑞̅) ∙ (𝑞 + 𝑞̅) + 𝑝        distributividad

(𝑝̅ + 𝑞̅) + 𝑝        complemento

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