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NOCIONES BASICAS DE PRUEBAS DE HIPOTESIS

Muchos problemas en estadística se relacionan con decisiones acerca de declaraciones hechas referentes a parámetros poblaciones. A estas declaraciones se le llama hipótesis, y el procedimiento que se sigue para decidir acerca de la verdad o falsedad de una hipótesis se le conoce como prueba de hipótesis.

Las pruebas de hipótesis son unas de las partes fundamentales del área de la estadística conocida como estadística inferencial o inferencia estadística.

Definición: Una hipótesis es una suposición acerca de la distribución probabilística a los parámetros de una variable aleatoria.

Ejemplo H : µ = 12 ( la media población es igual a 12 ).

Ejemplo H :  2 < 7 ( la varianza poblacional es menor que 7 ).

Ejemplo H : la población tiene distribución normal.

Definición: prueba de hipótesis es el procedimiento mediante el cual se acepta o rechaza una hipótesis, en base de la formación contenida en una muestra de la población.

Los elementos de una prueba de hipótesis son los siguientes:

1) Hipótesis nula (H0 ): La hipótesis que se desea probar.

2) Hipótesis alternativa (H1): Una hipótesis complementaria.

3) Estadístico de prueba: El que recoge la información de la muestra.

4) Región de rechazo: (o región crítica): forma parte de una regla de decisión.

Al establecer una hipótesis y probarla, tenemos posibilidad de cometer errores de aceptación o de rechazo. A estos errores se le conoce como error tipo I y error tipo II.

Definición: Error tipo I: rechazar la hipótesis nula cuando ésta es verdadera.

Con la letra  se designa a la probabilidad de cometer este error.

Definición: Error tipo II: aceptar la hipótesis nula cuando esta es falsa.

Con la letra  se designa a la probabilidad de cometer error tipo II. Lo anterior se puede resumir en la siguiente tabla:

Decisión La hipótesis es:

Verdadera Falsa

Aceptar No hay error Error tipo II

Rechazar Error tipo I No hay error.

Definición: La probabilidad máxima con la que al probar una hipótesis se puede cometer error tipo I (), se llama nivel de significancia de la prueba.

Cuando rechazamos una hipótesis, decimos que lo hacemos al nivel de significancia . Al diseñar una regla de decisión para aceptar o rechazar una hipótesis, generamos una región de rechazo o región crítica. Cuando el estadístico de prueba que obtenemos a partir de la información muestral se encuentra en esta región, debemos rechazar la hipótesis nula.

RESUMEN

Hipótesis Nula.

En muchos casos formulamos una hipótesis estadística con el único propósito de rechazarla o invalidarla. Así, si queremos decidir si una moneda está trucada, formulamos la hipótesis de que la moneda es buena (o sea, p es la probabilidad de cara). Análogamente, si deseamos decidir si un procedimiento es mejor que otro, formulamos la hipótesis de que no hay diferencia entre ellos (o sea, que cualquier diferencia observada se debe simplemente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población). Tales hipótesis se suelen llamar hipótesis nula y se denotan por Ho.

Hipótesis Alternativa.

Toda hipótesis que difiera de una dada se llamará una hipótesis alternativa. Por ejemplo, si una hipótesis es p = 0.5, hipótesis alternativas podrían ser p < 0.5, p ≠ 0.5 o p > 0.5. una hipótesis alternativa a la hipótesis nula se denotará por H1.

CONTRASTE DE HIPOTESIS Y SIGNIFICACION, O REGLAS DE DECISION

Si suponemos que una hipótesis particular es cierta pero vemos que los resultados hallados en una muestra aleatoria difieren notablemente de los esperados bajo tal hipótesis (o sea, esperados sobre la base del puro azar, por teoría de muestreo), entonces diremos que las diferencias observadas son significativas y no veríamos inclinarnos a rechazar la hipótesis (o al menos al no aceptarla ante la evidencia obtenida). Así, si en 20 tiradas de una moneda salen 16 caras, estaríamos inclinados a rechazar la hipótesis de que la moneda es buena, aunque cabe la posibilidad de equivocarnos.

Los procedimientos que nos capacitan para determinar si la muestras observadas difieren significativamente de los resultados esperados, no ayudan a decidir si aceptamos o rechazamos hipótesis, y se llaman contrastes (o tests) de hipótesis o de significación o reglas de decisión.

ERRORES DE TIPO I Y DE TIPO II

Si rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada, diremos que se ha cometido un error de tipo I. Por otra parte, si aceptamos una hipótesis que debiera de ser rechazada, diríamos que se ha cometido un error de tipo II. En ambos casos, se ha producido un juicio erróneo.

Para que las reglas de decisión (o contrastes de hipótesis) sean buenos, deben diseñarse de modo que minimicen los errores de decisión. Y no es una cuestión sencilla, porque para cualquier tamaño de la muestra, un intento de disminuir un tipo de error suele ir acompañando de un crecimiento del otro tipo. En la práctica, un tipo de error puede ser más grave. La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra, que no siempre es posible.

PRUEBA DE HIPOTESIS EN POBLACIONES NORMALES.

Pruebas de hipótesis para medidas.

Estudiaremos la metodología para llevar a cabo pruebas de hipótesis referentes al parámetros  , la media de una población normal. Consideremos casos en donde las varianzas poblaciones sean o no conocidas, y también el estudio comparativo de dos medias poblaciones.

En esta sección y en las siguientes, se manejara el estadístico de prueba en su forma estándar. Es decir, por ejemplo, sí el estadístico asociado a nuestro experimento es x (la media muestral), este será estandarizado, ya sea una variable normal estándar (Z) en caso de que se conozca la desviación estándar poblacional, o una variable t de Student, en caso contrario.

La finalidad de esta estandarización es la de facilitar el procedimiento de decisión en la prueba. Las ideas anteriores se ilustran

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