Suma Y Resta De Matrices

SUMA Y RESTA DE MATRICES

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3  2 y otra de 3  3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

MULTIPLICACION DE DE MATRICES

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2  3 y la multiplicamos por otra de orden 3  5, la matriz resultante será de orden 2  5.

(2  3)  (3  5) = (2  5)

Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.

3  5 por 2  3,

puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.

Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas deB; es decir, A es una matriz m  p y B una matriz p  n. Entonces el producto AB es la matriz m  n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.

Esto es,

Ejemplo:

1.

2.

•Producto por un escalar

El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k•A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de Apor k:

Ejemplo:

Entonces:

IDENTICAS DE UNA MATRIZ

Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. , la matriz identidad de tamaño , se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en cada una de las entradas de ladiagonal principal, y 0 en el resto. Así,

Empleando la notación que a veces se usa para describir concisamente las matrices diagonales, resulta:

Si el tamaño es inmaterial, o se puede deducir de forma trivial por el contexto, entonces se escribe simplemente como .

También se puede escribir usando la notación delta de Kronecker:

o, de forma aún más sencilla,

La matriz identidad de orden n puede ser también considerada como la matriz permutación que es elemento neutro del grupo de matrices de permutación de orden n!.

INVERSA DE UNA MATRIZ

Este método se basa en el conocimiento de las propiedades de las matrices , de tal forma que un sistema se puede calcular sabiendo cual es la matriz inversa de los coeficientes del sistema .

Recordemos que la matriz inversa se puede calcular de dos formas :

• Por determinantes y adjuntos

• Por Gauss ( este es el método que utilizaremos )

El método de Gauss para calcular matrices inversas es parecido al resolución de sistemas , ya que se basa en que a partir de la matriz de los coeficientes obtengamos la matriz identidad combinando filas entre sí .

Veamos el ejemplo :

Debemos de poner :

Todo lo que le hagamos a la matriz de la izquierda debemos de hacerlo a la derecha, y al final, a la izquierda debe aparecer la matriz identidad y a la derecha la matriz inversa .

Como podemos observar a la izquierda hemos conseguido la matriz identidad y a la derecha tenemos la matriz inversa .

Entonces el sistema se puede poner así :

Pasando la matriz de los coeficientes al otro miembro :

Multiplicando estas dos matrices :

Que es el resultado que ya sabíamos por Gauss .

Representación Geométrica

En este caso se nos da la magnitud del vector, el ángulo que forma con la horizontal, (su dirección) y la punta de la flecha indica el sentido del vector. En mecánica necesitamos trabajar en un sistema de referencia. Generalmente es conveniente proyectar este vector sobre los ejes coordenados. Recurriendo a la trigonometría, podemos definir una componente horizontal y vertical.

La proyección en los ejes coordenados x e y, introduce naturalmente una nueva notación:

Los vectores representados con una cuña en su parte superior representan vectores de magnitud unitaria y que tienen dirección y sentido de acuerdo al eje X (abscisa) e Y (ordenada) respectivamente.

Descripción Algebraica

Otra forma de describir un vector es mediante un par ordenado de números. En el caso de dos dimensiones, en el primer casillero se anota la magnitud de la proyección del vector en el eje X y en el segundo casillero, se incluye la proyección del vector en el eje Y.

Para todas las notaciones que figuran se puede hacer el paso inverso, esto es obtener la magnitud del vector teniendo las componentes de las abscisas y las ordenadas de este aplicando el teorema de Pitágoras.

método de sustitución

Método para resolver ecuaciones algebraicas sustituyendo una variable con una cantidad equivalente en términos de otra(s) variable(s) de manera que el número total de incógnitas se reduzca a 1. Por ejemplo, para resolver las siguientes ecuaciones simultáneas:

x + y = 3 (1)

y

x - y = 1 (2)

primero podemos obtener x en términos de y utilizando la ecuación (1):

x = 3 - y (3)

Después, sustituimos x con (3 - y) en la ecuación (2):

(3 - y) - y = 1 (4)

3 - 2y = 1

3 - 1 = 2y

2 = 2y

y = 1

Como se muestra, reducimos el número de variables en la ecuación (2) de 2 a 1 utilizando el método de sustitución. El resultado es que obtenemos una nueva ecuación con

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