TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS EN 2D

TRANSFORMACIONES 2D

ÍNDICE

1. TRANSFORMACIONES BÁSICAS

• Traslación
• Rotación

1. COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES

1. ALGORITMOS DE RECORTE

• Recorte de Puntos

• Recorte de Líneas

• Recorte de Polígonos

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

• Con los algoritmos de primitivas ya podemos dibujar en pantalla
• El siguiente paso consiste en permitir modificar o manipular dichas primitivas →Transformaciones Geométricas

• Para poder implementar aplicaciones de diseño
• Para poder realizar animaciones
• Para interactuar con la escena

• Las transformaciones básicas que se necesitan son:

• Traslación: cambios en la posición
• Rotación: cambios en la orientación
• Escalado: cambios en el tamaño

[pic 1][pic 2]

TRASLACIÓN

• Reposiciona un objeto desplazándolo a las nuevas coordenadas.

          x’ = x + tx

          y’ = y + t y 

          P’= (x’, y’)[pic 3]

        t y

• En forma matricial:

P = (x, y)    P' =(x ', y’)    T = (tx , t y )

[pic 4]

• Es una transformación rígida → el objeto no se deforma[pic 5]
• Para trasladar líneas rectas trasladamos sólo sus extremos
• Para trasladar polígonos, trasladamos sólo sus vértices y redibujamos                                                                                      

ROTACIÓN CON RESPECTO AL ORIGEN

• La posición de un punto es rotada alrededor del origen de coordenadas

• ¿Cómo sacamos la fórmula para obtener P’ a partir de P y del ángulo?

                                   P’= (x’, y’)  [pic 6]

• Solución: expresándolo en polares

            x= R cos α           x ' = R cos (α+𝜃) =…= x cos 𝜃 – y sin 𝜃

         y= R sin α           y ' = R sin (α+𝜃) =…= x sin 𝜃 + y cos 𝜃

• En forma matricial:

[pic 7]             P= (x, y)          P’= (x’, y’)                                                 [pic 8]

ROTACIÓN GENERAL

• ¿Cómo será la fórmula general cuando el punto sobre el que se rota no es el origen, sino un punto cualquiera (xc, yc)?

       x’ = xc+(x-xc)cos𝜃- (y-yc)sin𝜃

       y’ = yc+(x-xc)sin𝜃- (y-yc)cos𝜃

                                                                             P’ = (x’, y’)[pic 9]

                                                                                             P = (x, y)

        (xc, yc)

• Encontrar la forma matricial para este caso es un poco complicado.
• Más tarde lo haremos de otra forma mucho más fácil.
• Es una transformación rígida →el objeto no se deforma
• Para rotar líneas rectas rotamos sólo sus extremos
• Para rotar polígonos, rotamos sólo sus vértices y redibujamos

[pic 10]

Composición de transformaciones: Traslaciones

Para cualquier secuencia de transformaciones, podemos calcular la matriz de transformación compuesta, calculando el producto de las transformaciones individuales.

...