Teorema De Rolle

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

• Teorema de Rolle

• Teorema de Gauchy

• Teorema del Valor Medio

• Lagrange (sólo cuando G(X) = X

• Funciones Crecientes y Decrecientes

• Concavidad y Punto de Inflexión

• Máximos y Mínimos del Punto de Inflexión

• Criterio de Primera y Segunda Derivada

CONCLUSIÓN

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

TEOREMA DE ROLLE

Si una función es continua y derivable en un intervalo y toma valores iguales en sus extremos, existe un punto donde la derivada primera se anula.

Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis:

• Es continua en el intervalo cerrado [a, b]

• Es derivable en el intervalo abierto (a, b)

• Toma el mismo valor en los extremos del intervalo, es decir f(a) = f(b)

Entonces, existe un punto c que pertenece (a, b) tal que f´(c) = 0 , es decir, con tangente horizontal.

Ejercicios nº1: Comprobar que la función f(x) = x 2 – 4x + 11 verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [1, 3]

• Es continua en [1, 3] por ser polinómica.

• Es derivable en (1, 3) por ser polinómica.

• f(1) = 8; f(3) = 8

Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto.

Veamos: f´(x) = 2x – 4 f´(c) = 0 2c – 4 = 0 2c = 4 c = 2

El punto c = 2 esta en el interior del intervalo [1, 3]

TEOREMA DE GAUCHY

La hipótesis de este teorema es que contamos con dos funciones F y G que son continuas en un intervalo cerrado [a,b] y derivables en el intervalo abierto (a,b).

La tesis del teorema es que, en tal caso, existe algún valor x en (a,b) para el cual mF G'(x) = mG F'(x).

Las constantes mF y mG son las pendientes medias (tasas de variación media) de F y G en [a,b].

Interpretación geométrica

Considere la representación gráfica de una curva , que tiene ecuaciones paramétricas donde .

Utilizando la derivación paramétrica se obtiene que la pendiente de la recta tangente a la curva en un determinado valor está dada por

Además, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos está dada por:

Por el teorema de Cauchy del valor intermedio, existe por lo menos un valor en tal que:

En este caso, hay dos valores de que satisfacen la conclusión del teorema y son .

1) Sea f(x) = x4 - 2x2. Demuestra que f satisface la hipotésis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2] y halla todos los números c en el intervalo abierto (-2,2) tal que f’(c) = 0.

Solución:

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