MATEMATICA II. Teorema de rolle

UNIVERSIDAD ESTATAL DE CUENCA

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INTEGRANTES:

STEPHANY CALLE

ERIKA CARDENAS

JUAN ESTEBAN MOLINEROS

JADIRA TENESACA

NICOLAS VALLEJO

ASIGNATURA:

MATEMATICA II.

PROFESORA:

ING. PAOLA MENDEZ.

CURSO:

INGENIERIA EMPRESARIAL 02-01.

FECHA:

CUENCA, 16 DE OCTUBRE DEL 2015.

Introducción:

Las raíces de este teorema son muy antiguas, según los historiadores se remontan al pensamiento matemático hindú sin embargo se le atribuye a Michel Rolle, un matemático francés de finales del siglo XVII y principios del XVIII, miembro de la Academia Francesa quien se dedicó al estudio de la teoría de ecuaciones. Estudiando métodos para localizar y acotar raíces de polinomios llego a la formulación y demostración de una versión preliminar de este famoso teorema.

En los problemas matemáticos de la actualidad es importante conocer la forma correcta de cómo graficar las funciones. La obtención de su dominio, rango, cortes, números críticos, entre otros datos, es muy necesaria para poder realizar estimaciones graficas más exactas de su comportamiento.

En el presente trabajo analizaremos un teorema imprescindible para lograr dicha tarea: El Teorema de Rolle, y su generalización. Este teorema nos ayudará para ampliar nuestros conocimientos en el cálculo diferencial. El teorema abordado contará con su respectiva demostración y ejemplos ilustrativos para una mejor comprensión.

Objetivos

- Obtener conocimientos a través de la investigación sobre el teorema de rolle con el fin de poderlos compartir en clase de manera simple y clara.

- Demostrar las condiciones en las que se basa el teorema de rolle.

- Aplicar las condiciones y los conocimientos respectivos de límites, derivadas y otros para poder llevar a cabo la resolución el teorema del rolle.

TEOREMA DE ROLLE

Antes de definir el Teorema de Rolle, es necesario conocer otros conceptos como el Teorema del Valor Extremo, el cual nos ayudara a demostrar posteriormente el Teorema anunciado.

TEOREMA DE VALOR EXTREMO ENUNCIADO:

Sea la función f(x) continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces la función tiene un valor máximo absoluto o un valor mínimo absoluto en [a, b].

DESCRIPCION DEL TEOREMA: El teorema nos dice que la continuidad de la función en un intervalo cerrado es una condición suficiente pero no necesaria que nos garantiza que la función tiene valores máximos (M) y mínimos (m) absolutos. Se plantea que dicha condición de continuidad no es necesaria puesto que la función puede ser discontinua y aun así tener valor máximos y mínimos absolutos, excepto en los puntos de discontinuidad.

Dicho esto se puede proceder a demostrar el Teorema de Rolle:

Estudiado y desarrollado por el matemático francés Michael Rolle, entre los años 1652 y 1719, este teorema se considera como uno de los más importantes dentro del cálculo, ya que es utilizado para la demostración de otros teoremas.

ENUNCIADO:

Si f es una función en la que se cumple:

1. f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
2. f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
3. f (a) = 0 y f (b) = 0 Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que f '(c) = 0

Este teorema es válido, si y solo si, las tres hipótesis anteriormente mencionadas se cumplen.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:

El teorema asegura que, al cumplir con las condiciones del enunciado, existe al menos un punto en el que la tangente a la curva la cuál es paralela al eje de las x y totalmente horizontal, es decir que para ir de “a” a “b”, o bien tenemos una recta horizontal en el eje x, lo cual ocasiona que todos los puntos sobre ella sean críticos; o en al menos un punto la gráfica de la función produce un extremo relativo en el cual existe una tangente horizontal.

CALCULO DEL TEROREMA DE ROLLE

En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de ésta está en los extremos del intervalo es el mismo.

Se puede enunciar de la siguiente manera, 

Sea [pic 2] continua en el intervalo cerrado [pic 3] y derivable en el intervalo abierto[pic 4]. Si 

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Existe al menos un número c en [pic 6] tal que [pic 7]

El teorema de Rolle interesa porque podemos usarlo para demostrar uno de los resultados fundamentales del cálculo elemental, el Teorema del Valor Medio.

El teorema puede cumplir por 4 casos distintos:

• CASO 1

 Si la función es constante[pic 8]

[pic 9], Una constante, entonces [pic 10] así que c puede ser cualquier numero entre (a, b).

• CASO 2

 El punto máximo es igual a f(a) y f (b) y el punto mínimo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cóncava hacia arriba. El punto mínimo es m = f(c), y la derivada de la función en este punto es 0.[pic 11]

• CASO 3

El punto mínimo es igual a f(a) y f (b) y el punto máximo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cóncava hacia abajo (o convexa). El punto máximo es M= f(c), y la derivada de la función en este punto es 0.[pic 12]

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