Teorema De Unicidad

2.3 Teorema de existencia y unicidad de solución unicidad de solución única.

Teorema

Sean continuas en un intervalo I y sea para todo en este intervalo. Si es cualquier punto de este intervalo, entonces existe una solución del problema de valor inicial (1) en el intervalo y esa solución es única.

Ejemplo

Verificar que es una solución del problema de valor inicial

La ecuación diferencial es lineal, los coeficientes, así como son funciones continuas en cualquier intervalo que contiene x=0. Por el teorema de existencia y unicidad (2.1) se deduce que la función dada es la única solución.

Ejemplo

El problema de valor inicial

tiene una solución trivial y=0. Puesto que la ecuación de tercer orden es lineal con coeficientes constantes, se infiere que todas las condiciones del teorema (2.1) se cumplen. Por lo tanto, es la única solución en cualquier intervalo que contenga a .

Ejemplo

La función es una solución del problema de valor inicial

.

Por el teorema 2.1 se desprende que la solución es única en cualquier intervalo que le contenga a .

En el teorema de existencia y unicidad (2.1), se requiere que siendo sea continua y que , para todo de I. Ambos requisitos son importantes. Específicamente, si para cualquier del intervalo, entonces la solución de un problema lineal de valor inicial puede no ser única y hasta puede no existir.

Ejemplo

Verificar que la función es una solución del problema de valor inicial

,

en el intervalo para cualquier valor del parámetro

Solución. Como se tiene que

.

Además

y

Si bien la ecuación diferencial del ejemplo precedente es lineal y los coeficientes y son continuos para todo la dificultad obvia es que es cero en .

2.4 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

El teorema siguiente se conoce como principio de superposición.

Sean soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n (2) en un intervalo I. entonces la combinación lineal

(4)

en donde los son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.

COLARIOS

(a) Si es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea, entonces un múltiplo constante de ella, también es una solución.

(b) Una ecuación diferencial lineal homogénea siempre tiene la solución trivial

El principio de superposición definido y el

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