Teorema de feuerbach

Teorema: Dado cualquier triángulo, los siguientes puntos están un circulo común: los tres pies de las alturas, los tres puntos medios de los lados y los tres puntos de Euler. Además, cada uno de los segmentos de recta que unen un punto de Euler con el punto medio del lado opuesto es un diámetro de este círculo.

H)                                                                                                  T)  d,e,f,p,q,r,x,y,z є C₍d,xq₎[pic 1]

• d,e,f: pies de altura de abc
• p,q,r: puntos medios de los lados de abc
• x,y,z: puntos de Euler
• xq: diámetro
• ry: diámetro
• pz: diámetro

Demostración:

1. Trazamos un triángulo y lo nombramos abc

1. Marcamos los puntos medios de los lados del triángulo abc

1. Trazamos las alturas de abc y señalamos sus respectivos pies de altura y el ortocentro

1. Marcamos los puntos de Euler del abc

1. Trazamos el segmento xq considerado como diámetro por hipótesis

1. Para demostrar que los puntos p y r están en este círculo, basta con demostrar que los ángulos con vértice en dichos puntos tienen una amplitud de 90°(recordemos que todo ángulo inscripto es igual a la mitad del ángulo central correspondiente)

1. Aplicamos el teorema de las bases medias en ahc, siendo x y r puntos medios de ahc y ch es el tercer lado.

Concluimos que ch//xr        xr//cd

1. Aplicamos el teorema de las bases medias en abc, siendo r y q puntos medios de abc y ab es el tercer lado.

rq//ab

1. cd     ab (por propiedad de las alturas)
2.       xr     rq (por propiedad transitiva)
3.      r=90° (1R)

1. Análogamente se demuestra que p=90°

1. px //bf (por teorema de las bases medias en abh)
2. pq//ac (por teorema de las bases medias en abc)
3. bf     ac (por propiedad de las alturas)
4.    px     pq (por propiedad transitiva)
5.     p=90° (1R)

En conclusión, podemos afirmar que p,q,r y x están en un mismo circulo de diámetro xq

1. Considerando que p,q y r pertenecen a un mismo circulo, entonces concluimos que es el circuncírculo del triangulo medial abc

Por lo tanto, dado un abc arbitrario, el circuncírculo de su triangulo medial tiene a xq como diámetro donde q es el punto medio de bc y x es el punto de Euler opuesto. De manera semejante consideramos:

ry: diámetro

pz: diámetro

      y y z є C₍d,xq₎

Hemos demostrado que seis de los nueve puntos requeridos están en el circuncírculo del triangulo medial

1. Luego observamos:

d=90° (por propiedad de las alturas)       d є C₍d,xq₎

e=90° (por propiedad de las alturas)       e є C₍d,xq₎

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