Teorema del Límite Central

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Teorema del Límite Central

Problema

Determinación de la probabilidad de vivir cierto número de años en base a las esperanzas de vida de diferentes países.

Justificación de la elección del problema

Elegimos este problema ya que nos pareció de sumo interés el conocer si la esperanza de vida en el mundo se comporta de acuerdo con el teorema del límite central y con ello determinar qué tan probable es que nuestra vida dure cierto número de años. De esta manera podemos saciar esa duda la cuál en algún punto de nuestra vida toda tenemos la cuál es ¿Cuántos años viviré? Cabe aclarar que no es una respuesta definitiva, pero de esta manera tendremos una mejor idea acerca de ello e incluso se podría implementar a nuestra vida diaria rutinas de vida de países los cuales cuenten con una elevada esperanza de vida.

Descripción del contexto del problema:

Se analiza el cómo cambia la esperanza de vida dependiendo del país en el cual residas, ¿habrá diferencias significativas dependiendo del país de dónde eres?, ¿la probabilidad de años que podrías vivir será significativamente diferente dependiendo de tu país de origen?

Componentes del Teorema del Límite Central

El teorema central del límite es un resultado matemático que garantiza que, si sumamos variables cualesquiera (no necesariamente normales), la variable suma también seguirá una distribución normal (esto siempre que se cumplan algunas condiciones básicas).

1. Permite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta esté en un cierto intervalo.

1. Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté, a priori, en un cierto intervalo.
2. Inferir la media de la población a partir de una muestra.

Principales propiedades

• Si el tamaño de la muestra es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales seguirá aproximadamente una distribución normal. El TCL considera una muestra como grande cuando el tamaño de esta es superior a 30. Por tanto, si la muestra es superior a 30, la media muestral tendrá una función de distribución próxima a una normal. Y esto se cumple independientemente de la forma de la distribución con la que estamos trabajando.
• La media poblacional y la media muestral serán iguales. Es decir, la media de la distribución de todas las medias muestrales será igual a la media del total de la población.
• La varianza de la distribución de las medias muestrales será σ²/n. Que es la varianza de la

población dividido entre el tamaño de la muestra.

Aplicación del Teorema del Límite Central en nuestro problema

Para nuestro problema primero tomamos las esperanzas de vida medía de 10 países

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Calculamos la media y la desviación estándar

µ = 80.559        σ = 3.0701

Calculamos la probabilidad de que tener diferentes edades en nuestra muestra de 10 utilizando la función de densidad para una distribución normal:

𝑒−

(𝑥−𝜇)2 2𝜎2

𝑓𝑑𝑝(𝑥) =                 [pic 4][pic 5]

𝜎√2𝜋

En una tabla esto se ve representado de la siguiente manera

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Graficando obtenemos el siguiente histograma

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Se puede observar en este histograma que la probabilidad de los diez países escogidos se comporta de acuerdo con la distribución normal, es decir, se forma una campana de Gauss.

Tomando la esperanza de vida de 50 países y calculando su probabilidad

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