TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

1.-TEOREMA DE LÍMITE CENTRAL

El teorema central del límite es uno de los resultados fundamentales de la estadística. Este teorema nos dice que si una muestra es lo bastante grande (generalmente cuando el tamaño muestral (n) supera los 30), sea cual sea la distribución de la media muestral, seguirá aproximadamente una distribución normal. Es decir, dada cualquier variable aleatoria, si extraemos muestras de tamaño n (n>30) y calculamos los promedios muestrales, dichos promedios seguirán una distribución normal. Además, la media será la misma que la de la

variable de interés, y la desviación estándar de la media muestral será aproximadamente el error estándar.

La importancia del teorema central del límite radica en que mediante un conjunto de teoremas, se desvela las razones por las cuales, en muchos campos de aplicación, se encuentran en todo momento distribuciones normales o casi.

Teorema del límite central. Si X1, X2, ..., Xn son variables aleatorias (discretas o continuas) independientes ,con idéntico modelo de probabilidad, de valor medio μ y varianza σ2 , entonces la distribución de la variable

Z = (( x_1+ x_2+⋯〖+x〗_(n ) )-nµ)/(σ√n)= (( ∑_(i-1)^n▒〖x_i)-nµ〗)/(σ√n)

Se aproxima a la de una variable normal tipificada N (0,1), mejorándose la calidad de la aproximación a medida que n aumenta.

Este resultado prueba que el estadístico o estimador media muestral

x ̅ = (x_1+x_2+ …〖+x〗_n)/n= ∑_(i-1)^n▒x_i/n

Se distribuye aproximadamente como una variable

N= (µ,σ/√n)

O, de manera equivalente, que ((x ) ̅- µ)/(σ/√n)

Se distribuye aproximadamente como una variable N (0,1)

En el enlace modelos de probabilidad , se establece una relación de algunos modelos, con aproximaciones particulares, que en la mayoría de los casos derivan del teorema del límite central. (e-stadistica.bio.ucm.es/glosario2/teor_limite_central)

El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.

Ejemplo: la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre sí) se distribuye según una distribución normal.

Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas.

Los parámetros de la distribución normal son:

Media: n * m (media de la variable individual multiplicada por el número de variables independientes)

Varianza: n * s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables individuales)

Ejemplo

En una asignatura del colegio la probabilidad de que te saquen a la pizarra en cada clase es del 10%. A lo largo del año tienes 100 clases de esa asignatura. ¿Cuál es la probabilidad de tener que salir a la pizarra más de 15 veces?

Se vuelve a aplicar el Teorema Central del Límite.

Salir a la pizarra es una variable independiente que sigue el modelo de distribución de Bernouilli:

"Salir a la pizarra", le damos el valor 1 y tiene una probabilidad del 0,10

"No salir a la pizarra", le damos el valor 0 y tiene una probabilidad del 0,9

La media y la varianza de cada variable independiente es:

m = 0,10

s2 = 0,10 * 0,90 = 0,09

Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye según una normal cuya media y varianza son:

Media: n * m = 100 * 0,10 = 10

Varianza: n * s2 = 100 * 0,09 = 9

Para calcular la probabilidad de salir a la pizarra más de 15 veces, calculamos el valor equivalente de la variable normal tipificada:

Luego:

P (X > 15) = P (Y > 1,67) = 1 - P (Y < 1,67) = 1 - 0,9525 = 0,0475

Es decir, la probabilidad de tener que salir más de 15 veces a la pizarra a lo largo del curso es tan sólo del 4,75%. (nutriserver.com/cursos/bioestadistica/Limite_Central.)

2.-MÉTODOS DE MUESTREO

Muestreo Aleatorio Simple: muestra seleccionada de manera que cada integrante de la población tenga la misma probabilidad de quedar incluido, equivale a numerar a toda la población objeto de estudio, sacando al azar los números que van a formar parte de la muestra, este requiere que se conozca de antemano el listado completo de todas las unidades de muestreo.

El procedimiento empleado es el siguiente:

Se asigna un número a cada individuo de la población.

A través de algún medio mecánico (bola dentro de una bolsa, tablas de números aleatorios, números aleatorios generada con una calculadora u ordenador, etc.) se eligen tantos sujetos como sea necesario para completar el tamaño de muestra requerido.

Formulación si se conoce el tamaño de la población:

n= S^2/(E^2/Z^2 +S^2/N)

N = tamaño de la población

n = tamaño necesario de la muestra

Z = margen de confiabilidad o número de unidades de desviación estándar en la distribución normal que producirá un nivel deseado de confianza

S = desviación estándar de la población conocida o estimada a partir de anteriores estudios o de una prueba piloto.

E = error o diferencia máxima entre la media muestral y la media de la población que se está dispuesto a aceptar con un nivel de confianza que se ha definido.

Formulación si no se conoce el tamaño de la población:

n= (Z^2 ∞/2S^2)/E^2

n = tamaño necesario de la muestra

Z = margen de confiabilidad o número de unidades de desviación estándar en la distribución normal que producirá un nivel deseado de confianza

S = desviación estándar de la población conocida o estimada a partir de anteriores estudios o de una prueba piloto.

E = error o diferencia máxima entre la media muestral y la media de la población que se está dispuesto a aceptar con un nivel de confianza que se ha definido.

Muestreo Aleatoria Sistemática: este procedimiento exige como el muestreo anterior numerar todos los elementos de la población, pero en lugar de extraer n números aleatorios solo se extrae uno. Se parte de ese número aleatorio i, que es un numero elegido al azar, y los elementos que integran la muestra son los que ocupan los lugares i, i+k, i+2k, i+3k,…,i+(n-1)k, es decir se toman los individuos de k en k, siendo k el resultado de dividir el tamaño de la población entre el tamaño de la población entre el tamaño de la muestra: K= N/n. el numero i que empleamos como punto de partida será un numero al azar entre 1 y K

Formulación:

k=N/n=150/30 =5

Muestreo Aleatorio Estratificado: consiste en considerar categorías típicas diferentes entre sí (estratos) que poseen gran homogeneidad respecto a alguna características (se puede estratificar, por ejemplo, según la profesión, el municipio de residencia, el sexo, el estado civil, etc.)

Lo que se pretende con este tipo de muestreo es asegurarse de que todos los estratos de interés estarán representados adecuadamente en la muestra.

Cada estrato funciona independientemente, pudiendo aplicarse dentro de ellos el muestreo aleatorio simple o el estratificado para elegir los elementos concretos que formaran parte de la muestra.

En ocasiones las dificultades que plantean son demasiado grandes, pues exige un conocimiento detallado de la población. (tamaño geográfico, sexos, edades, etc.)

La distribución de la muestra en función de los diferentes estratos se denomina afijación, y puede ser de diferentes tipos:

Afijación Simple: a cada estrato le corresponde igual número de elementos muestrales.

Afijación Proporcional: la distribución se hace de acuerdo con el peso (tamaño) de la población en cada estrato.

Afijación Óptima: se tiene en cuenta la previsible dispersión de los resultados, de modo que se considera la proporción y la desviación típica. Tiene poca aplicación ya que no se suele conocer la desviación.

Formulación:

nA= (n(N_A )(S_A))/((N_A )(S_A )+(N_B )(S_B)+(N_C )(S_C))

Muestreo por Conglomeración: es un grupo de elementos de la población que forman una unidad, a la que llamamos conglomerados. Las unidades hospitalarias, los departamentos universitarios, una caja de determinado producto, etc. son conglomerados naturales. En otras ocasiones se pueden utilizar no naturales como, por ejemplo, las urnas electorales. Cuando los conglomerados son áreas geográficas suele hablarse de “muestreo por áreas”

Este muestreo consiste en seleccionar aleatoriamente un cierto número de conglomerados (el necesario para alcanzar el tamaño muestral establecido) y en investigar después todos pertenecientes a los conglomerados elegidos.

En una muestra no probabilística, una inclusión en la muestra se basa en el juicio de la persona que selecciona la muestra.

El error del muestreo es la diferencia entre un valor estadístico de muestra y su parámetro de población correspondiente.

Distribución de muestro de medidas muestrales es una distribución de probabilidad que consta de todas las medidas muestrales posibles de un tamaño de muestra dado. (Slideshare.net/.../mtodos-de-muestreo-y-el-teorema-de-lmite-central‎)

3.- INTERVALO DE CONFIANZA

Se llama intervalo de confianza en estadística a un par de números entre los cuales

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