Trabajo con fuerza variable y Fuerza ejercida por un fluido

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

FACULTAD DE INGENIERÍA

CALCULO INTEGRAL

Trabajo # 2 -  Trabajo con fuerza variable y Fuerza ejercida por un fluido.

Guamán Morocho Julio César

cesar.guaman@ucuenca.ec

Abstract- The fundamental thing in this research work is to apply the basic concepts of integration, in the same way the integral defined since by means of the use of integration it will be possible to make the fundamental use in the field of physics in this case in these Two primordial points mentioned above are: work and the force exerted by a liquid.

Palabras claves: Calculo Integral, Integral Definida, Presion Hidrotatica, Fluidos, Presion en un fluido, Densidad, Profundidad, trabajo, fuerza,distancia.

OBJETIVOS

• Usar la integración definida en aplicaciones físicas.
• Aplicar las integrales definidas en el cálculo de TRABAJO CON FUERZA VARIABLE y FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO.

• Conocer cómo se aplica las integrales en otras ramas de la ciencia en este caso: Trabajo y Fuerza ejercida por un fluido.

1. INTRODUCCION

Lo fundamental en este trabajo de investigación consiste en el aplicar los conceptos básicos de integración, del mismo modo la integral definida ya que por medio del uso de la integración se llegará a hacer el uso fundamental en el campo de la física en este caso en estos dos puntos primordiales antes mencionados como son: el trabajo y la fuerza ejercida por un líquido.

Si bien es cierto hemos venido estudiando el uso primordial en el cálculo integral como son: el cálculo de áreas, volúmenes, longitud de arco, etc., pues a continuación estudiaremos lo que es el TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE Y LA FUERZA EJERCIDA POR UN LIQUIDO de una manera más corta, precisa y minuciosa, del mismo modo el desarrollo de ejercicios, prevaleciendo el uso de la integral.

1. MARCO TEORICO

1.- TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE.

1.1.-  Definición cuando la fuerza es constante. - Si una fuerza f es CONSTANTE durante el desplazamiento, el trabajo W realizado por esta fuerza es definida por:    

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Ilustración 1(Trabajo generado por una fuerza constante). Recuperado de: :

1.2.- Definición cuando la fuerza es variable. - Si la fuerza no es constante durante el desplazamiento, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple como la definición anterior. Para lo cual procedo a deducir un procedimiento que permita calcular el valor del trabajo W en función de la fuerza variable.

En este caso como la fuerza es variable en lugar de usarla como una constante lo vamos a expresar como una función de x, es decir:

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Como se puede apreciar en la imagen se puede suponer que un objeto se mueve a lo largo del eje de coordenadas, mientras sobre el actúa una fuerza variable , en el cual se quiere determinar una expresión que permita calcular el trabajo efectuado por la fuerza que sea necesaria para desplazar el objeto en el siguiente intervalo:  es decir desde  hasta [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

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Ilustración II(Trabajo generado por una fuerza variable).

A continuación, vamos asumir que el intervalo se descompone en pequeños subintervalos en los cuales la fuerza no varía demasiado, de esta forma la fuerza en cada subintervalo se puede considerar como constante y se puede utilizar la formula cuando la fuerza es constante para calcular el trabajo en cada subintervalo.

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Ilustración 3(Partición del intervalo [A; B] en n subintervalos)

Como se puede apreciar en la ilustración 3 el intervalo [A; B] se divide en n subintervalos insertando los puntos x1, x2,.., xn-1 entre

 , asumiendo que cada subintervalo es muy pequeño se aproxima el trabajo en cada subintervalo mediante la fórmula cuando la  fuerza es constante tomando cualquier punto  en este su intervalo y considerando la fuerza como constante , teniendo en cuenta que la distancia se corresponde con el ancho de cada subintervalo , el trabajo será igual a: [pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

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Luego se realiza la sumatoria de los trabajos realizados en cada subintervalo, obteniendo como resultado el trabajo total realizado.

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Luego mientras  tienda a cero haciendo lo siguiente.[pic 18]

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Finalmente la formula antes mencionada es la misma que la sumatoria de Riemann, lo que se establece que:

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1.3.- Ejercicios.

1.3.1.- Un resorte ejerce una fuerza de 50 newton cuando se estira 10 metros más allá de su punto de equilibrio.

A) Determine la constante del resorte.
B) Calcule el trabajo requerido para estirar el resorte 18 metros más allá de su punto de equilibrio.

1. Solución:

Como el resorte está en su punto de equilibrio antes de ser estirado se puede determinar el valor de la constante del resorte utilizando la ley de Hooke y los datos del problema:

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1. Solución: Parte B)

Si se quiere alargar el resorte x metros se debe aplicar una fuerza equivalente a:

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Ahora, debido a que se desea calcular el trabajo requerido para estirar el resorte 18 metros, es decir, alargarlo de 0 a 18 metros (asumiendo el punto de equilibrio como x=0) se cumple los siguiente:

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Esta integral definida puede resolverse utilizando el teorema fundamental del cálculo, es decir, encontrando una anti derivada a 5x.

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810 J[pic 29]

1.3.2.- Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el resorte 1/2 pulgada.

Determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas.

Solución:

Consideremos el resorte ubicado a lo largo del eje x, con su extremo fijo en el origen como se puede apreciar en la figura.

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