Trabajo de la Unidad IV “Series”

[pic 1]

Nombre: Tecnológico  Nacional de México

Institución: Instituto Tecnológico de Gustavo A. Madero II

Asignatura: Calculo Integral

Trabajo de la Unidad IV “Series”

Alumno: Cruz Solís Eduardo

Profesor Juan Carlos Escobedo Villegas

Fecha de entrega: 30/Mayo/2016

Contenido:

4.1.- Definición de serie:

El concepto de serie está íntimamente relacionado con el concepto de sucesión. Si (An) es la sucesión A1, A2, A3,……, An……., entonces a la suma indicada:

A1+A2+A3+… + An +…

• Recuérdese que el símbolo n! significa 1´2´3… (n-1) n.
• Por supuesto, en algunos de estos problemas el límite real se puede obtener por otros métodos.

4.1.1.- Definición de serie infinita: se le llama serie infinita a los elementos Ak, k = 1, 2, 3,…, se llaman los términos de la serie; An se denomina termino general. Se presenta en forma compacta como ∑∞k = 1 Ak, o bien ∑Ak, por convivencia.

• Ejemplo 1:

En las observaciones iniciales de este capítulo se indicó que la representación decimal del número racional 1/3 es, en realidad, una serie infinita:

3/10 + 3/102 + 3/103 +… = [pic 2]

La pregunta que tratemos de contestar en esta y en las siguientes secciones es:

¿Cuándo una serie infinita “tiene por suma” un numero?

Intuitivamente es de esperar que 1/3 sea la suma de la serie . Pero, también intuitivamente, puede esperarse que una serie como:[pic 3]

100+ 1000+ 10,000+ 100,000+…

no tenga suma. En otras palabras, no es de esperar que esta última serie “tengo por suma” un numero-ósea, converja- a dicho número. El concepto de una convergencia de una serie infinita se define en términos de la convergencia de una clase especial de sucesión.

• Ejemplo 2:

La sucesión de sumas parciales de :[pic 4]

 =  [pic 5][pic 6]

 =  +[pic 7][pic 8][pic 9]

Los términos “serie infinita” y “serie” se usan aquí indistintamente.

[pic 10]

[pic 11]

En el ejemplo 2, cuando n es muy grande Sn dará una buena aproximación a , y de esta manera parece razonable escribir:[pic 12]

[pic 13]

Esto conduce a la definición siguiente.

• Se dice que una serie infinita : es convergente la sucesión de sumas parciales {Sn}; esto es,  .[pic 14][pic 15]

El numero S es la suma de la serie. Si   no existe, se dice entonces que la serie es divergente.[pic 16]

4.1.2.- Definición de serie finita:

Es una sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.

• La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.

• Ejemplo 1:

Sea f la función definida por F(x)= 2m; m" {1, 2, 3,4}

F (1)= 2x1=2

F (2)= 2x2=4

F (3)= 2x3=6

F (4)= 2x4=8

(2, 4, 6,8)

• F(x)= 2m; m" {1, 2, 3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier número del intervalo [1, 4]        

calculointegral.blogspot.mx/2012/07/unidad-iv-series.html

4.2.- Serie numérica y convergencia

•   Prueba de la razón (criterio de D´Alembert)

• El Criterio de D'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de la misma.

Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de {A_{n+1} \over A_n} se obtiene un número L, con los siguientes casos:

• Si L<1, \ A_n converge.
• Si L>1, \ A_n diverge.
• Si L=1, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

• Criterio de la razón:

Sea ¨n una serie de términos positivos tal que:  = L.[pic 17][pic 18]

(¡) Si L < 1, la serie es convergente.

...