Trazado De Curvas

-Trazado de Curvas

La gráfica de una función proporciona información valiosa con respecto al comportamiento de la propia función. Una de las principales aplicaciones del cálculo radica en proporcionar un procedimiento para el trazo de curvas con una precisión razonable. Por ello antes de trazar o dibujar una curva considere los puntos siguientes:

Crecimiento y decrecimiento de una función

1. Función creciente

Se dice que una función f definida en un intervalo es creciente en ese intervalo, si y sólo si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2, donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo

2. Función decreciente

Se dice que una función f definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si y sólo si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2, donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo

3. Teorema

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciables en el intervalo abierto (a,b):

 Si f´(x1) > 0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b]

 Si f´(x1) < 0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b]

Valores extremos de una función (relativos y absolutos)

1. Valor máximo relativo

Se dice que una función f tiene un valor máximo relativo en c si existe un intervalo abierto que contenga a c, en el cual f esté definida, tal que f(c) ≥ f(x) para toda x en ese intervalo

2. Valor mínimo relativo

Se dice que una función f tiene un valor mínimo relativo en c si existe un intervalo abierto que contenga a c, en el cual f esté definida, tal que f(c) ≤ f(x) para toda x en ese intervalo.

Si la función f tiene un máximo relativo o un valor mínimo relativo en c, entonces se dice que f tiene un valor EXTREMO RELATIVO en c

3. Teorema

Si f(x) existe para todo los valores de x en el intervalo abierto (a,b) y si f tiene un extremo relativo en c, donde a < c < b, entonces si f`(c) existe, f`(c) = 0

La interpretación geométrica es que si f tiene un extremo relativo en c y si f`(c) existe, entonces la gráfica de f debe tener una recta tangente horizontal en el punto donde x = c.

4. Número crítico

Si c es un número en el dominio de la función f y si f´(c) = 0, ó si f´(c) no existe, entonces c se llama un NÚMERO CRÍTICO de f

5. Valor máximo absoluto

Se dice que la función f tiene un valor máximo absoluto en un intervalo, si existe algún número c en el intervalo, tal que f(c) ≥ f(x) para toda x en el mismo. En tal caso, f(c) es el valor máximo absoluto en el intervalo

6. Valor mínimo absoluto

Se dice que la función f tiene un valor mínimo absoluto en un intervalo, si existe algún número c en el intervalo, tal que f(c) ≤ f(x) para toda x en el mismo. En tal caso, f(c) es el valor máximo absoluto en el intervalo

7. Teorema del valor extremo

Si la función f es continua en el intervalo [a,b], entonces f tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en [a,b],

Un extremo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado, debe ser un extremo, relativo o un valor de la función en un punto extremo del intervalo. Como condición necesaria para que una función tenga extremo relativo en un número x es que x sea un número crítico

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