Vectores y secciones conicas

Trabajo: Secciones cónicas y conversiones

Descripción

1. Establece e indica en el plano bidimensional el centro, los focos, los vértices y los ejes de la sección cónica definida por la ecuación 9(𝑥 − ⺁)2 + 2c(𝑦 + 2)2 = 22c, apoyado en un procedimiento detallado con convenciones definidas.

Solución.

Para desarrollar el ejercicio pasaremos la ecuación estandar para la elipse la cual se basa en el siguiente estandar:

(x − h)2 + ( y + k )2 =

[pic 1][pic 2]

a2        b2        1

9(x − 3)2 + 25( y + 2)2 = 225 − >[pic 3][pic 4][pic 5]

9 (x

− 3)2 +

25 ( y

+ 2)2 = 1

225[pic 6]

1

[pic 7]

225

225

1

[pic 8]

2        225

225

2

225

(x − 3)2[pic 9]

225

( y + 2)2[pic 10]

[pic 11]

(x − 3)

9

+        ( y + 2)

25

= 1− >

+

( 225)

9

= 1

( 225)

25

Ahora pasaremos a obtener el centroide, a y b

C = (h,k) -> C(2,2)

a2 = 225 → a = 5 → b2 = 225 → b = 3[pic 12][pic 13][pic 14]

9        25

Ahora pasaremos a encontrar la distancia media del centro a los focos c para la elipse:

c =        = 4[pic 15]

Pasaremos a obtener los focos

F1 = (3 − 4,2) = (−1,2)

F2 = (3 + 4,2) = (7,2)

Como paso final pasaremos a calcular los vértices de la elipse:

V1 → (3 − 5,2) = (−2,2)

V2 → (3 + 5,2) = (8,2)

V3 → (2,2 + 3) = (2,5)

V4 → (2,2 − 3) = (2,−1)

La cual verificamos en geogebra el centroide, los ejes y los vértices.

[pic 16]

[pic 17]        [pic 18]

1. Una antena de telecomunicaciones tiene un diámetro de 7t𝑐𝑚 y una profundidad de 7𝑐𝑚 , ¿a qué altura se debe colocar el receptor de las ondas electromagnéticas? Representa en el plano bidimensional la sección cónica junto con la posición del receptor. Justificar respuesta.

Respuesta.

1. Realiza las siguientes conversiones, desarrollando las expresiones matemáticas, con su respectiva representación en el sistema bidimensional:[pic 19][pic 20]

Solución.[pic 21][pic 22]

(x = 2, y = − 1 )[pic 23]

2

Pasamos a obtener el valor de r como se expresa en la siguiente formula:

y = 2

x2 + y2 − > r = 2 (2)2 + (− 1 )2 − > r = 2 17 − > r 2 4,25 − > r = 2,06

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