Secciones Conicas

HISTORIA DE LAS CONICAS

Las secciones cónicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C. y el interés por estas curvas aumentaba a medida que se empleaban en la resolución de problemas. Pero un estudio sistemático y racional no comenzó hasta aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista, en la que sobresalieron por su contribución e importantes logros los matemáticos Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga.

Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la intersección de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono. Las distintas cónicas aparecen dependiendo de la inclinación del plano respecto del eje del cono. Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una circunferencia; si se lo inclina ligeramente, se obtiene una elipse; cuando es paralelo a una generatriz del cono se tiene una parábola y si corta a ambas ramas del cono la curva es una hipérbola.

Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión.

FILOSOFOS

* Considerado el primer filósofo moderno, René Descartes utilizó la ciencia y las matemáticas para explicar y pronosticar acontecimientos en el mundo físico. Desarrolló el sistema de coordenadas cartesianas para ecuaciones gráficas y figuras geométricas. Descartes está considerado como el creador de la geometría analítica.

* Pascal trabajó en las secciones cónicas y desarrolló importantes teoremas en la geometría proyectiva. En su correspondencia con Fermat dejó la creación de la Teoría de la Probabilidad.

* Apolonio fue conocido como "El gran geómetra", su famoso libro "Secciones Cónicas" introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola espiral.

* Matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años.

SIGNIFICADOS

*Circunferencia: La circunferencia podemos definirla como una línea curva cerrada que consta de la sucesión de puntos equidistantes de un punto llamado centro. El término equidistar significa que están a la misma distancia. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.

*Elipse significaba deficiencia: Se utilizaba cuando un rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado.. Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.

*Hipérbola significaba exceso: de "avanzar mas allá", el área exedia el segmento dado.. Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices.

*Parábola significaba equiparación: Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz.. Denominamos parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

APLICACIONES DE LAS SECCIONES CONICAS

Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Resumimos a continuación las diferentes aplicaciones que las secciones cónicas tienen en la vida real:

1. Una de las propiedades más utilizadas de las parábolas es la de reflexión. En Física se define una superficie reflectora cuando un rayo incidente y el correspondiente rayo reflejado forman ángulos iguales con la normal a la superficie. Un espejo plano es un ejemplo de superficie reflectora. Otro ejemplo es, si una parábola gira alrededor de su eje engendra una superficie reflectora. Tiene la propiedad especial de que todos los rayos que parten del foco, al chocar con la superficie se reflejan todos paralelos entre sí al eje. Esta propiedad es la base para la construcción de los espejos parabólicos de los telescopios, los faros, las reflectoras de ondas eléctricas y conchas acústicas de micrófonos selectivos.

2. Los cables de los puentes colgantes tienen forma parabólica (forman la envolvente de una parábola). Se creía hace tiempo que las cuerdas o cadenas que se suspenden agarradas únicamente por sus extremos también formaban parábolas (hoy sabemos que la curva que describen es un coseno hiperbólico).

3. Las trayectorias de los proyectiles tienen forma parabólica. Los chorros de agua que salen de un surtidor tienen también forma parabólica. Si salen varios chorros de un mismo punto a la misma velocidad inicial pero diferentes inclinaciones, la envolvente de esta familia de parábolas es otra parábola (llamada en balística parábola de seguridad, pues por encima de ella no es posible que pase ningún punto de las parábolas de la familia). El mayor alcance que se puede obtener es aquel en que el ángulo de inclinación inicial es de 45 grados.

4. La forma de los telescopios, detectores de radar y reflectores luminosos son parabólicas. En los faros de los coches se coloca la fuente de luz en el foco de la parábola, de modo que los rayos, al reflejarse en la lámpara, salen formando rayos paralelos. La nave espacial PLUTO de la NASA incorpora también un reflector parabólico. Recordar también el conocido efecto de quemar una hoja de papel concentrando los rayos solares mediante un espejo parabólico.

5. Un

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