Secciones Conica

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN DOS DIMENSIONES; SECCIONES CONICAS (PARABOLA)

Secciones cónicas

Es un corte transversal de un cono; en otras palabras la intersección de un plano con un cono circular recto. Las tres secciones cónicas básicas son la parábola, la elipse y la hipérbola.

Donde V es el vértice, que está localizado justo en el punto medio entre el foco y la directriz. La G es la generatriz, que es cualquiera de las rectas oblicuas.

Las secciones cónicas pueden definirse algebraicamente como las graficas de ecuaciones de segundo grado (cuadráticas) de dos variables; esto es, como ecuaciones de la forma: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0. Donde A,B y C son todos cero.

Parábola

Una parábola es el conjunto de puntos en un plano que equidistan de una línea particular (la directriz) y un punto particular (el foco) en el plano.

Donde la línea que pasa a través del foco y es perpendicular a la directriz es el eje (focal) de la parábola. El eje es la línea de simetría de la parábola. El punto de la parábola interseca a su eje es el (vértice). El vértice está localizado justo en el punto medio entre el foco y la directriz, y es el punto de la parábola que está más cerca del foco y de la directriz.

La ecuación x2=4py es la forma estándar de la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo y con vértice en el origen. Si p>0, la parábola abre hacia abajo.

Cuando la ecuación de una parábola que abre asía arriba o hacia abajo se escribe como x2=4py, y el valor de p se interpreta como la longitud focal de la parábola, es decir, la distancia dirigida del vértice al foco de la parábola.

Un segmento de recta con puntos finales sobre una parábola es una cuerda de la parábola. El valor /4p/ es el ancho focal o lado recto de la parábola; es decir, la longitud de la cuerda a través del foco y la línea perpendicular al eje.

Las parábolas que abren a la derecha o a la izquierda son relaciones inversas de las parábolas que abren hacia arriba o hacia abajo. Así, las ecuaciones de parábolas con vértice (0,0) que abren a la derecha o a la izquierda tienen la forma estándar x2=4px. Si p>0, la parábola abre hacia la derecha, y si p<0, lo hace a la izquierda.

Parábolas con vértice (0,0)

• Ecuación estándar x2=4px y2=4px

• Abre hacia arriba hacia la derecha o

O hacia abajo hacia la izquierda

• Foco (0,p) (p,0)

• Directriz y=-p x=-p

• Eje eje y eje x

• Longitud focal p p

• Ancho focal 4p 4p

Ejemplo:

Encontrar el foco, la directriz y el ancho focal de la parábola si y=-(1/2)x2

Solución: multiplica ambos lados de la ecuación por -2 para obtener la forma estándar x2=-2y. El coeficiente de y es 4p=-2yp=-1/2.

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