Secciones Conicas

SECCIONES CÓNICAS

Una sección cónica (o cónica) es una curva de intersección de un plano con un cono recto circular de dos hojas; tenemos cuatro tipos de curvas: CIRCUNFERECNIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA. El matemático Apolonio estudio las secciones cónicas en términos de Geometría utilizando este concepto.

Ahora bien, pero qué es una cónica, es el conjunto de puntos “P” del plano tales que la distancia no dirigida de “P” a un punto fijo está en razón constante a la distancia no dirigida de “P” a una recta fija que no contiene al punto fijo. Esta razón constante en la definición anterior se llama excentricidad.

Las cónicas tienen innumerables aplicaciones en las ciencias y en la tecnología; de allí la gran importancia que tiene conocerlas y resolver problemas donde se apliquen cada una de ellas.

CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano que (equidistan) de un punto C(h, k) llamado Centro.

R = radio

C(h,k) = Centro

P(x,y) = Punto Cualquiera de Circunferencia.

Vamos a obtener la ECUACIÓN CANÓNICA de circunferencia. Por definición de Distancia entre dos puntos, se tiene:

R = d(C, P)

Esto es:

d(C,P) = R =

R2 = (x-h)2 + (y-k)2

Ecuación canónica de Circunferencia de centro C(h, k) y radio R.

Ejemplo No. 1: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 16; es la Ecuación de una Circunferencia de centro C(1,-3) y radio R = 4

Ejemplo No. 2: x2 + (y – 4)2 = 7 es la Ecuación de una circunferencia de centro C(0, 4) y Radio R = .

Si el centro de la circunferencia es C(0,0) y radio R = 5; la Ecuación es:

x2 + y2 = 25

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Al desarrollar la Ecuación Canónica (x-h)2 + (y-k)2 = R2 resulta:

(x-h)2 + (y-k)2 = R2 x2 - 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = R2

x2 + y2 - 2hx – 2ky + h2 + k2 = R2

Ahora tenemos:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

Donde A = B y no aparece producto de la variable x e y.

Ejemplo No. 1: Una circunferencia tiene centro C(-3, 4) y pasa por el punto P(1, -2) . Determinar su Ecuación General. Solución:

Para llegar a la ecuación general partimos de la ecuación canónica:

R2 = (x-h)2 + (y-k)2

Observamos si tenemos el centro, en este caso C(-3, 4) pero el radio no está dado. ¿Cómo encontrarlo? Es sencillo, ya que nos dan un punto P(1, -2) por donde pasa las circunferencia; y sabemos que R = d(C, P). Entonces, por definición de distancia, tenemos:

R = d(C, P)

Luego, sustituyendo tenemos:

(x-h)2 + (y-k)2 = R2 (x+3)2 + (y-4)2 Desarrollando la Ecuación canónica. La ecuación general queda:

x2 + y2 + 6x – 8y – 27 = 0

Gráficamente:

EJERCICIOS:

Resolver usando Geogebra:

1.- Determinar la ecuación general de la circunferencia de centro C y Radio R = .

2.- Determinar la Ecuación General de la Circunferencia si los extremos del diámetro son A(-2, 4) y B(0, -8) .

3.- Determinar la Ecuación de la Circunferencia de centro C(-1,4) y es tangente al eje de las abscisas.

4.- Calcular la distancia entre los centros de la circunferencia de ecuación:

(x + 1)2 + (y + 3)2 = 25 y (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16

5.- Determinar la Intersección entre la recta de ecuación x – y = 1 y la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x – 4y – 1 = 0.

6.- Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto P(1, 6) y tangente a la recta de la ecuación x – y – 1 = 0

ELIPSE

Es el lugar Geométrico de los puntos P(x, y) del plano, cuya suma de distancias a dos puntos F1 y F2 (focos) es constante. (Ver grafica)

d(P,F1) + d(P,F2) = d(A1, A2) Donde:

C(h, k) es el centro.

A1, A2, B1, B2 Son los Vértices

F1, F2 Focos.

= 2a Eje Mayor.

= Eje Focal

= Eje Menor.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE

A partir de la definición se obtienen dos ecuaciones llamadas canónicas. Estas son:

CASO I: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las abscisas (x, x1).

CASO II: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las coordenadas (y, y1).

Observación: El centro es C(h, k) a2 y b2 están relacionadas con el eje mayor y menor respectivamente por lo tanto para identificar los dos casos, solo tienes que ver

...