Secciones cónicas (teoría)

1. Determine el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz, el eje focal y dibujar la gráfica de la parábola cuya ecuación es:

Solución:

Se debe expresar la ecuación en la forma:

(1)

Así,

(Completación de cuadrados)

(2) (Factorizando)

Así que las coordenadas del vértice son .

Como p = 4 > 0 y la variable lineal es y, se deduce

entonces que la parábola se abre hacia arriba.

El eje focal es la recta paralela al eje y de ecuación

y el foco se encuentra localizado en el punto

, esto es,

fig. 6.5.6.

La directriz es la recta paralela al eje x, de ecuación ; esto es,

2. Una parábola con vértice en O’(2, 3). La parábola se abre hacia la derecha y además 2p = 4, de donde p = 2. Hallar la ecuación de la parábola, ecuación de la directriz, coordenadas del foco y graficar.

Solución:

= distancia del vértice al foco.

Fig. 6.5.4.

De la ecuación inicial, se obtiene:

Esta última ecuación, representa una parábola cuyo vértice es el punto V (2, 3), abierta hacia la derecha y cuya distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz es 1.

3. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F(4, 2).

Solución:

Como la directriz es la recta de ecuación x = 2, paralela al eje y, se sigue que el eje focal es paralelo al eje x y como el foco es el punto F(4, 2), entonces el eje focal tiene como ecuación y = 2.

El vértice V de la parábola está sobre la recta y = 2 y localizado en el punto medio entre la directriz y el foco.

Como QF = p = 2, se sigue que QV = VF = 1, y por lo tanto las coordenadas del vértice son V(3, 2).

fig. 6.5.5.

Ahora, la ecuación de la parábola viene dada por:

ó

4. Dada la parábola que tiene por ecuación

x2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica.

Solución:

la ecuación x2 = -6y tiene la forma de la ecuación (4) del teorema 1. Entonces, 2p = -6, de donde p= -3 < 0.

Como p < 0, la parábola se abre hacia abajo.

El foco se encuentra sobre el eje y en el punto F (0, -p/2).

La ecuación de la directriz es la recta ,

es decir,

5. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos

F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0).

Solución:

Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que, y por tanto .

fig. 6.5.8.

De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y

V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por :

6. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por:

25x2 + 4y2 = 100

Solución:

La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:

x 2 + y 2= 1 (porqué?)

4 25

La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.

De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntos y .

Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).

La figura 6.5.9. recoge toda la información obtenida.

fig. 6.5.9.

7. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación:

4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0

Solución:

La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes:

(completación de cuadrado)

(factorización y simplificación)

(dividiendo por 4)

Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;

a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2 (ver fig. 6.5.10.).

Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1).

Como , se tiene que los focos están localizados en los puntos y .

fig. 6.5.10.

1. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y

V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.

SOLUCIÓN

________________________________________

Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma: .

fig. 6.5.13.

En este caso: a = 4; c = 5, de donde (Ver fig. 6.5.13.) En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: .

Ahora,

Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , y,

2. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: . Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.

SOLUCIÓN

________________________________________

La ecuación: , puede escribirse en las formas equivalentes:

La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y

(fig. 6.5.14.)

fig. 6.5.14.

En este caso: . Luego, .

Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).

Además de la ecuación: , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas son las rectas de ecuación: e .

..

3. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas.

SOLUCIÓN

Como la distancia entre los vértices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10, se sigue que c = 5 y por lo tanto b2 = c2 – a2 = 9. Asi que b = 3 (fig. 6.5.15.).

...