Resumen Secciones Conicas

RESUMEN DE SECCIONES CÓNICAS. Por: Carlos Alberto Ríos Villa

Círculo

Elipse (h)

Parábola (h)

Hipérbola (h)

Definición: Una sección

cónica es la intersección

de un plano y un cono.

Elipse (v)

Parábola (v)

Hipérbola (v)

Círculo Elipse Parábola Hipérbola

Definición: es el conjunto de todos los puntos que cumple la condición... la distancia a un punto fijo (centro) es constante la suma del las distancias a los foco es constante la distancia al foco = la distancia a la directriz la diferencia entre las distancias a cada foco es constante

Variables: r = el radio del círculo

(h,k): centro (h,k): centro

a = el radio mayor (= 1/2 la longitud del eje mayor)

b = el radio menor (= 1/2 la longitud del eje menor)

c = la distancia desde el vértice al foco.

e= excentricidad indica que tan redondeada o tan alargada es la elipse.Si e se acerca a cero la elipse tiende a redondearse y si se acerca a 1 tiende a alargarse. 0 < e < 1, si e=0 será una circunferencia, si e=1 será una recta p = la distancia desde el vértice al foco (o a la directriz)

(h,k): vértice

Directriz: recta de lacual equidistan todos los puntos con respecto al foco a = 1/2 la longitud del eje mayor

b = 1/2 la longitud del eje menor

c = la distancia desde el centro al foco

(h,k): centro

Excentricidad: Se refiera a que tan alargada o puntiaguda es la hipérbola. Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos están lejos del centro y las ramas de la hipérbola son más puntiagudas.

Desde la ecuación canónica Desde la ecuación general

Circunferencia (X-h)2 + (y-k)2 = r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0

Centro: C(h,k).

Radio: r

Nota: recuerde que el signo menos de la ecuación cambia el signo de h y k ;

Centro: C(h,K)

ejemplo (x-3)2+(y+2)2=36

C(3,-2); r=6 x2-2-6x+9+y2+4y+4=36

x2+y2-6x+4y-23=0

D=-6; E=4; F= -23

h=-(-6)/2=3; k=-4/2=-2

C(3,-2)

r= =

r = 6

Elipse Horizontal:

; a > b

Ax2+By2+Dx+Ey+F=0;

con A<B

Centro: C(h,k)

Eje mayor = 2a

Eje menor = 2b

c2 = a2- b2

Focos: X1=(h-c , k)

X2=(h+c,k)

Vértices: V1=(h-a , k)

V2=(h+a , k)

B1=(h , k-b)

B2=(h , k+b)

Excentricidad; e=c/a

Lado recto=2b2/a A = b2

B = a2

D = -2b2h

E = -2a2k

F = b2h2 + a2k2 - a2b2

Lado recto=2b2/a

Ejemplo

a2=9 a=3

b2=4 b=2

C(-3,3) h=-3, k=3

C2=9-4=5 C=√5=2.24

Focos:

X1=(-3-2.24,3)=(5.24,3)

X2=(-3+2.24,3)=(-0.76;3)

Vértices:

V1=(3-3 , 3)=(0,3)

V2=(3+3 , 3)=(6,3)

B1=(3 , 3-2)=(3,1)

B2=(3 , 3+2)=(3,5)

Excentricidad:

e =√5/3=0.75

Lado recto LR=2b2/a = 2 x 4/2 = 4

Realizando las operaciones, mínimo común denominador y simplificando se obtiene la ecuación general:

4x2+9y2+24x-54y+81=0

A=4 ; B=9 ; D=24 ; E=-54 ; F=81

4=b2 b=2; 9=a2 a=3

24=-2x22 x h despejando h=-3

-54=-2x32k despejando k=3

De igual forma que para la canónica encontramos los focos y los vértices.

Elipse Vertical: ; a > b

Ax2+By2+Dx+Ey+F=0; con A>B

Centro: C(h,k)

Eje mayor = 2a

Eje menor = 2b

c2 = a2- b2

Focos: F1=(h , k-c)

F2=(h , k+c)

Vértices: W1=(h-b , k);

W2=(h+b , k)

V1=(h , k-a)

V2=(h , k+a)

Excentricidad; e=c/a

Lado recto=2b2/a A = a2

C = b2

D = -2a2h

E = -2b2k

F = a2h2 + b2k2 - a2b2

Lado recto=2b2/a

Ejemplo

a2=25 a=5

b2=9 b=3

C(1,-2) h=1 K=-2

C2=25-9=16 C=4

Focos:

F1=(1 , -2-4)

F2=(1 , -2+4)

Vértices:

W1=(1-3 , -2)=(-1,-2)

W2=(1+3 ,-2) =(4,-2)

V1=(1 , -2-5) = (1,-7)

V2=(1 , -2+5) = (1, 3)

Excentricidad; e=4/5=0.8

Lado recto LR=2b2/2=2 x 9/2 = 9

Realizando las operaciones, mínimo común denominador y simplificando se obtiene la

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