Origen De Las Secciones Conicas

ORIGEN DE LAS SECCIONES CÓNICAS

Las secciones cónicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C. y el interés por estas curvas aumentaba a medida que se empleaban en la resolución de problemas. Pero un estudio sistemático y racional no comenzó hasta aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista, la influencia de Apolonio sobre las secciones cónicas tiene una importancia mayor a la usual.

Durante aproximadamente 150 años, se refirieron a ellas por la forma común a como habían sido descubiertas: secciones de un cono agudo, secciones de un cono rectángulo, y secciones de un cono obtuso. Arquímedes continúo utilizando estos nombres, aunque según parece también uso ya el nombre de parábola como sinónimo para una sección de un cono rectángulo. Sin embargo, fue Apolonio, posiblemente, siguiendo los consejos de Arquímedes, quien hablo o nombro por primera vez, las secciones cónicas como "elipse" e "hipérbola". Los nombres dados no eran nuevos, sino que adaptados de un uso anterior, posiblemente obtenidos de los pitagóricos, como la solución de ecuaciones cuadráticas por el método de aplicación de áreas.

Ellipsis, que significa una deficiencia, se utilizaba cuando un rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado (u otra figura dada). Mientras que la palabra Hiperbola (de "avanzar más allá") se adopto para el caso en que el área excedía el segmento dado y por último la palabra Parabola (de "colocar al lado" o "comparar") indicaba que no había ni deficiencia ni exceso. Apolonio aplico estas palabras en un contexto nuevo utilizándolas con nombres para las secciones cónicas.

DEFINICIÓN DE LAS SECCIONES CÓNICAS

Son aquéllas secciones que resultan al intersecar una superficie cónica de revolución con un plano. Según la posición del plano secante, en la superficie pueden obtenerse una circunferencia, parábola, elipse hipérbola. Cumpliéndose que el conjunto de puntos que forma cada cónica tienen una misma propiedad, lo cual es característica fundamental de lo que en geometría llamamos lugar geométrico.

La seccion producida por un plano perpendicular al eje es una circunferenia.

La sección producida por un plano paralelo a una de las generatrices es una parábola.

La sección producida por un plano que interseca a todas las generatrices de un mismo lado del vértice es una elipse.

La sección producida por un plano que interceda a todas las generatrices pero no en un mismo lado del vértice es una hipérbola.

LUGAR GEOMÉTRICO Y ECUACIONES GENERALES DE LAS SECCIONES CÓNICAS

Desde un punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo:

Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias

Lugar Geométrico, es un conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad.

CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto ubicado en el mismo plano denominado centro. La distancia del centro a cualquier punto se denomina radio

Centro: C(a; b)

Radio: r

-Ecuaciones de la circunferencia

Circunferencia con centro en el punto (a, b)

Circunferencia con centro en el origen.

PARÁBOLA:

Es el lugar de los puntos de un plano que equidistan de un punto y de una recta del mismo plano. El punto se denomina foco y la recta directriz.

Componentes de la parábola

Foco:Es el punto fijo de F.

Directriz:Es la recta fija d.

Parametro: Es la distancia del foco a la dirtectriz,se designa por la letra p.

Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vertice:Es el punto d einterseccion de la parabola con sus eje.

Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parabola con el foco.

-Ecuaciones

(Dependiendo si es vertical u horizontal)

Parabola vertical el signo ("mas" o "menos") dirá si la abertura es hacia arriba o abajo.

Parabola horizontal el signo dirá si la abertura es hacia derecha o izquierda respecto.

ELIPSE:

Es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del mismo es constante. Los puntos fijos denominan focos.

-Componentes de la elipse

Focos: Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

-Relación entre la distancia focal y los semiejes

-EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE

La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

-Ecuaciones de la elipse

Elipse con centro en el punto (h; k)

Elipse con centro en el origen.

HIPÉRBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos de un plano tal que la diferencia de sus distancias a dos punto fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se llaman focos.

Componentes de la hipérbola

Focos: Son los puntos

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