La definición de la sección cónica

Introducción

• La primera definición de sección cónica (de un cono circular recto) apareció en la civilización Griega. Apolonio de Perga (siglo II a. C.) efectuó estudios matemáticos sobre las secciones cónicas, de los cuales compuso el tratado sobre las curvas cónicas. Durante muchos siglos, las cónicas no tuvieron un papel relevante en los estudios matemáticos, hasta que se descubrió que el mundo que nos rodea está lleno de secciones cónicas, ya que por ejemplo, los estudios de Galileo demostraron que las trayectorias de los proyectiles siguen una trayectoria parabólica o que los estudios de Kepler demostraron que los planetas seguían una trayectoria elíptica. Además, las secciones cónicas tienen diferentes aplicaciones en la vida real, como por ejemplo: los cables de los puentes colgantes, los detectores de radar o los focos de los coches tienen forma parabólica; las órbitas de los planetas alrededor del sol son elípticas, en óptica y propagación de ondas se utilizan lentes elípticas.

Secciones cónicas

Desde un interés puramente matemático, las secciones cónicas han evolucionado hasta su utilidad en muchos y variados contextos. Es, por supuesto, de principal importancia el que se incluyeran en las descripciones del movimiento planetario de Kepler al inicio del siglo XVII; y más tarde por Newton al final del siglo XVII cuando, en uno de los mayores adelantos en la ciencia, el dedujo de su ley de gravitación que la forma de la órbita de los planetas era una elipse. Las aplicaciones de las cónicas son abundantes

Todas estas secciones cónicas tiene una propiedad común que es satisfecha por cada uno de sus puntos, y es que el cociente de la distancia de cada uno de estos puntos hasta un punto fijo F, llamado foco, entre su distancia a una recta fija D, llamada directriz, es siempre constante, denotada por e y denominada excentricidad.

CONICAS.

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasas por su vértice.

Historia

El matemático griego Menecmo descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio de Perga (antigua cuidad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.

Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio por nombre: elipse, hipérbola y parábola.

Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizá las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gura alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gura.

Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

Definición de las secciones cónicas

Son aquéllas secciones que resultan al intersecar una superficie cónica de revolución con un plano. Según la posición del plano secante, en la superficie pueden obtenerse una circunferencia, parábola, elipse hipérbola. Cumpliéndose que el conjunto de puntos que forma cada cónica tienen una misma propiedad, lo cual es característica fundamental de lo que en geometría llamamos lugar geométrico.

La sección producida por un plano perpendicular al eje es una circunferencia.

La sección producida por un plano paralelo a una de las generatrices es una parábola.

La sección producida por un plano que interseca a todas las generatrices de un mismo lado del vértice es una elipse.

La sección producida por un plano que interseca a todas las generatrices pero no en un mismo lado del vértice es una hipérbola.

Lugar geométrico y ecuaciones generales de las secciones cónicas

Desde un punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo:

Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias

Lugar Geométrico, es un conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad.

Circunferencia:

Es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto ubicado en el mismo plano denominado centro. Ladistancia del centro a cualquier punto se denomina radio

Centro: C(a; b)

Radio: r

-Ecuaciones de la circunferencia

Circunferencia con centro en el punto (a, b)

Circunferencia con centro en el origen.

Ejemplo: Graficar:

Parábola:

Es el lugar de los puntos de un plano que equidistan de un punto y de una recta del mismo plano. El punto se denomina foco y la recta directriz.

-Componentes de la parabola

Foco:Es el punto fijo de F.

Directriz:Es la recta fija d.

Parametro: Es la distancia del foco a la dirtectriz,se designa por la letra p.

Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vertice:Es el punto d einterseccion de la parabola con sus eje.

Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parabola con el foco.

-Ecuaciones

(Dependiendo si es vertical u horizontal)

...