Vibraciones мecanicas

Indice

Indice 2

Introduccion 3

¿Qué es una vibración? 3

Definición de una vibración libre 6

Vibración libre amortiguada 7

Amortiguamiento fuerte o supercrítico 8

Amortiguamiento crítico 9

Amortiguamiento subcrítico 10

Amortiguador nulo (ejes). 11

Vibración Libre no-amortiguada. 11

Vibraciones Forzadas 13

Vibraciones forzadas de un sistema sin amortiguamiento 14

Simplificando ecuaciones iniciales 14

La solución general 14

Solución particular 15

Vibraciones forzadas de un sistema amortiguado 15

CON FRICCIÓN Y FUERZA EXTERNA 15

SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA FORMA 15

Referencias: 20

Vibraciones Mecanicas

Introduccion

En esta unidad 6 del curso de dinamica se tiene como objetivo educacional entender y comprender el comportamiento de los sistemas vibratorios de uno o dos grados de libertad, y para esto es importante tener nociones de los conceptos generales como: ¿Que es una vibracion?,¿Qué es una vibracion libre?, ¿Qué es una vibracion forzada?,¿Qué son las vibraciones libres y forzadas amortiguadas? Y ¿Qué son las vibraciones libres y forzadas no amortiguadas? Todo esto para sistemas de vibratorios.

Esto quiere decir que para comprender las vibraciones mecanicas hay que entender lo que es una vibracion, por ello se contestan las siguintes preguntas que a su vez son los conceptos clave de esta investigacion:

¿Qué es una vibración?

Una manera sencilla de describir lo que es este concepto sería: el movimiento continuo y repetitivo de un objeto alrededor de una posición de equilibrio. La posición de equilibrio es a la que se llegará cuando la fuerza que actúa sobre el objeto sea cero.

El fenómeno de vibración es benéfico para algunas situaciones como el caso del funcionamiento de instrumentos musicales con cuerdas como la guitarra ya que por medio de este se produce el sonido y se hace trabajar dicho instrumento; sin embargo la mayoría de las veces esto no resulta deseable pues en otros casos por el contrario perjudica sistemas llevándolos a perder partes, aflojar uniones o incluso desensamblarse por causa del mismo movimiento.

Este tipo de vibración se llama vibración de cuerpo entero, lo que quiere decir que todas las partes del cuerpo se mueven juntas en la misma dirección y en cualquier momento.

El movimiento vibratorio de un cuerpo entero se puede describir completamente como una combinación de movimientos individuales de 6 tipos diferentes. Esos son traslaciones en las tres direcciones ortogonales (x, y, z) y rotaciones alrededor de los ejes (x, y, z), cualquier movimiento complejo que el cuerpo pueda representar se puede descomponer en una combinación de esos seis movimientos. De un tal cuerpo se dice que posee seis grados de libertad.

Es importante mencionar que para poder entender lo que ocasionan los diferentes tipos de vibraciones se debe conocer sus componentes básicos que son: su masa y su fuerza restauradora.

Otra manera de explicarlo es que los movimientos vibratorios en máquinas se presentan cuando sobre las piezas elásticas actúan fuerzas variables. Generalmente estos movimientos son indeseables, aun cuando en algunos casos se diseñan de manera deliberada en la máquina.

El análisis de las vibraciones requiere el siguiente proceso general:

Evaluar las masas y la elasticidad de las piezas a estudio.

Calcular la cantidad de rozamiento actuante.

Idealizar el implemento mecánico real, reemplazándolo por un sistema aproximadamente equivalente de masas, resortes y amortiguadores.

Escribir la ecuación diferencial de movimiento del sistema idealizado.

Resolver la ecuación e interpretar los resultados.

El sistema ideal más sencillo consiste de una masa única, un resorte único y un amortiguador como se muestra en la figura. Este sistema se define como un sistema de un grado de libertad.

mx^(´´)+cx^´+kx=f(t)

Cualquier sistema de un solo grado de libertad puede describirse por medio de la misma forma de ecuación diferencial escrita anteriormente, si la fuerza del resorte es proporcional al desplazamiento y la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad. Para el sistema general de un solo grado de libertad podemos escribir:

m_e x^(´´)+c_e x^´+k_e x=f(t)

Donde me,ce,ke son la masa equivalente, la constante de amortiguamiento equivalente y la constante del resorte equivalente, respectivamente. El desplazamiento X puede ser lineal o angular.

Ejemplo:

Grado de libertad:

Se puede definir como el grado de libertad a las variables necesarias y suficientes para especificar la posición de un sistema mecánico.

En general se clasifican las vibraciones como:

Como dijimos anteriormente una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio .El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectué un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración.

Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse en lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposición y las técnicas matemáticas para su comportamiento están bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las técnicas para el análisis de los sistemas no lineales son más complicadas y poco conocidas.

Definición de una vibración libre

Una estructura esta en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de una fuerza externa alguna (P (t)=0). Estas vibraciones se presentan cuando después de una perturbación inicial, no existe fuerza externa de excitación, esto es, F (t)= 0. La ecuación diferencial es:

m_e x^(´´)+c_e x^´+k_e x=0

Se buscan soluciones de la forma: X= C• es•t

Así, la solución de esta ecuación puede escribir: X= A•es1•t +B•es2•t.

Dónde: S_1=-C_e/(2m_e )+√((c_e/(2m_e ))-k_e/m_e ) y S_2=-C_e/(2m_e )-√((c_e/(2m_e ))-k_e/m_e )

Y A1y A2 Son constantes determinadas por las condiciones iniciales.

Al valor 2√(k_e∙m_e

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