Vigas sobre apoyos elasticos

VIGAS SOBRE APOYOS ELASTICOS

1.  FORMULACIÓN DEL PROBLEMA: VIGAS CONTINÚAS SOBRE APOYOS ELÁSTICOS

Consideremos una viga cuya esquemática se muestra en la figura  1 .  La ecuación de la transversal vibración lineal de la viga de sección obtenida de las condiciones del equilibrio de su sección de primaria, suponiendo que buscamos una solución de este sistema en forma w (ξ, τ) = W (ξ) e iωτ, parece que sigue

 IV W i (ξ) + i una 'W' i (ξ) - b i W (ξ) = 0……. (1)

Donde ξ = x / l designa un parámetro adimensional que define la posición de la sección transversal a lo largo de l longitud total de la viga y los índices analizados romano o primos indican derivadas espaciales.

[pic 1]

 La figura.  1.  Un esquema de la viga.

En una sección de la viga debe entender un su sección prismática, que se extiende entre los nodos cuyas posiciones son fijas, por ejemplo, los puntos de la aplicación de una carga axial, límites de una base elástica de dos parámetros, las posiciones de las masas de rotación cuya inercia es insignificante o nula, las posiciones de las masas surgido, las posiciones de los soportes elásticos de rotación o traslación o puntos en los que la rigidez del material de la viga o los cambios de densidad.

 Los coeficientes a i y b i en ecuación 1.  Para un modelo de la viga de Euler tienen esta forma

[pic 2] ……… (2)

Y por un modelo de la viga de Timoshenko, que tiene en cuenta y deformabilidad forma inercia de rotación, dichos coeficientes se expresan mediante las siguientes fórmulas

[pic 3]…… .(3)

EI y GA designar barra de flexión y rigidez forma, ρ es material de densidad, A representa el área de corte transversal, J es el momento de masa de cruzar la sección de la inercia del,-la cruz de sección en forma de factor κ, N-la fuerza axial estática en la suma de [vara de conservadores (F) y no conservativas (P) cargas axiales], y, r y t definir los parámetros de reacción R (x) de una paramétrica elástica y dos bases: R (x) = rw (x) -2 tw "(x), (r, t [pic 4] 0)

Si los apoyos de una estructura son elásticos, como en el caso de una apoyada sobre otra o algún elemento estructural elástico como sería el caso de un cable que sostiene a una viga, el valor del desplazamiento del apoyo no lo podemos determinar por adelantado ya que éste depende de la magnitud de la reacción que es proporcional a la constante elástica del elemento que sirve como apoyo.

Para propósitos de análisis el apoyo lo podemos considerar como si fuera un resorte, como lo indica la viga siguiente:

[pic 5]

La constante k del resorte, representa la fuerza necesaria para hacerlo desplazar una distancia unitaria y se determina mediante las características carga-deflexión del miembro soportante.

El procedimiento para resolver una viga sobre un apoyo elástico, será superponiendo dos vigas, una que soporta las cargas con sus apoyos inmóviles y la otra, dejando que se desplace el apoyo una cantidad arbitraria, la superposición de las dos vigas nos deberá dar la viga original, con los momentos y reacciones reales de ésta.

Para resolver  la viga de la figura 2, primero analizamos la viga 2.1, que tiene apoyos inmóviles. Por el método de distribución de momentos, encontramos los momentos en los apoyos y ayudados con las ecuaciones de la estática podemos conocer las reacciones en los nudos o apoyos, la reacción el apoyo C, lo denominaremos RCO.

Para la viga 2.2 suponemos una deflexión en el apoyo elástico, si no conocemos el valor de ésta la deflexión nos causará momentos de empotramiento que podemos calcular con las fórmulas del apéndice, y resolvemos la viga procediendo a  distribuir los momentos y  calcular las reacciones así,  encontramos el valor de la reacción RCI.

Los momentos originales de la viga serán igual a los de la viga 2.2 multiplicados por una constante de proporcionalidad, mas los de la viga 2.1, la constante de proporcionalidad se determina mediante las siguientes ecuaciones de superposición, la primera de ellas está relacionada con la reacción C y al segunda con la deflexión en dicho punto.

[pic 6]

Determinada la constante se pueden determinar los momentos en los apoyos de la viga original mediante la ecuación: M=MO + [pic 7] x MI

En las ecuaciones 2 y 3 , cada barra de longitud l, salvo y libre de vibraciones de frecuencia ω de las cantidades pueden estar en diferentes generales para cada i º) en la sección (de la barra, porque la claridad de la notación, los índices de las características distintivas de la Sección I º se han omitirse.

 Las condiciones de contorno para la barra de seguimiento de las condiciones de equilibrio por escrito sus izquierda  la figura 2 (a) y el derecho la figura 2 (b) nodo.  Si definimos la reacción elástica de traslación, junto con la reacción de una masa suspendida (S), fuerza de inercia (B), la reacción elástica de rotación (M S), momento de inercia de rotación (M B) y la fuerza de corte (Q) como  (4)

[pic 8]

 Entonces las condiciones de contorno para el extremo izquierdo (i = L) asumirá esta forma

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