Proyecto curricular Licenciatura en Matemáticas

Taller 1

1.En la red encuentra diferentes construcciones de las siguientes

curvas:

a.Hipotrocoide

b.Epicicloide

c.Lemniscata de Bernouilli

d.Curva de Catalan

Por favor analice su construcción y a partir de ella encuentre una forma de trazar una línea recta tangente a cada uno de los puntos de cada curva.

a.Hipotrocoide

[pic 2]

Hipotrocoide:

En una hipotrocoide, un punto D’ en el círculo pequeño rueda dentro del círculo grande. La posición de D’ se puede describir en coordenadas paramétricas en función del ángulo θ:

 x = (R - r) * cos(θ) + d * cos((R - r) * θ / r)

y = (R - r) * sen(θ) - d * sen((R - r) * θ / r)

donde R es el radio del círculo grande, r es el radio del círculo pequeño, y i es la distancia del punto D’ al centro del círculo pequeño.

La derivada de y con respecto a x [pic 3]

en términos de θ representa la pendiente de la tangente a la curva hipotrocoide en un punto dado. Para ello se debe calcular la derivada y luego usarla para trazar las líneas tangentes a diferentes puntos de la curva.

Ahora, para trazar una línea recta tangente a cada punto de la hipotrocoide, se debe calcular la derivada de "y" con respecto a "x" en términos de θ [pic 4]

utilizando las ecuaciones paramétricas.

para trazar líneas tangentes a la hipotrocoide:

Calcula la derivada [pic 5]

:

Deriva "y" con respecto a "x" usando las reglas de derivación y la cadena:

[pic 6]

 = [pic 7]

Al derivar cada término y por separado se puede simplificar.

Se evalúa la derivada [pic 8]

en el valor de θ correspondiente al punto en el que desea trazar la tangente. Esto nos dará la pendiente de la tangente en ese punto.

Para encontrar  la ecuación de la línea tangente:

Se utiliza la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta para encontrar la ecuación de la línea tangente que pasa por el punto D’ (x, y) con la pendiente calculada en el paso anterior.

Trazar la línea tangente:

Se utiliza la ecuación de la línea tangente para trazar una línea recta tangente al punto D’ en la hipotrocoide.

b.Epicicloide

[pic 9]

[pic 10]

La ecuación paramétrica de una epicicloide en coordenadas polares es r = a + b, donde "a" es el radio del círculo grande y "b" es el radio del círculo pequeño. La tangente a una epicicloide en un punto dado puede encontrarse utilizando cálculo vectorial. Para ello se calcula la derivada de la ecuación paramétrica con respecto al ángulo θ para obtener un vector tangente en el punto. Luego, la ecuación de la tangente en el punto será la ecuación de una recta que pasa por el punto y tiene la dirección del vector tangente.

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