Capitulo 3 sigma.

3.1 Señale qué es una variable aleatoria e incluya un par de ejemplos de variables aleatorias discretas y otro par de continuas.

Función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio. Discreta: toma un valor finito entre dos valores.

Ejemplo Variables Discretas:

• Numero de Hijos de una familia
• La puntuación obtenida al lanzar un dado.

Ejemplo Variable Aleatoria Continua:

• La altura de los alumnos de un salón.
• Las horas de duración de una batería.

3.2. ¿Qué es una distribución de probabilidad?

Una descripción del conjunto de los valores posibles de X (variable aleatoria) con la probabilidad asociada a cada uno de estos valores, es decir la probabilidad de que dicho suceso ocurra.

3.3. ¿Qué es una función de densidad de probabilidades y qué requisitos debe cumplir?

Es una variable aleatoria continua, describe la posibilidad realativa según la cual dicha variable aleatoria tomara determinado valor.

Requisitos:

[pic 1]

• No Negativa.
• Su integral sobre todo el espacio es de valor 1.

3.4 Explique en cada caso qué tipo de variables siguen una distribución binomial, de Poisson e hipergeométrica. Mencione dos ejemplos de cada una de ellas.

BINOMIAL:

Variable aleatoria Discreta, cuenta objetos de un tipo determinado, PASA O NO PASA.

Ejemplos:

• La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p = 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos

• La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?

POISSON:

Variable Aleatoria Discreta, Cuenta éxitos, probabilidad que ocurra un evento raro.

• Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

• Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

HIPERGEOMETRICA:

Variable Aleatoria Discreta Cada elemento de la muestra tiene dos resultados posibles (o es un evento o un no evento).

• Supongamos que hay diez automóviles que le gustaría someter a una prueba de conducción (N = 10), y cinco de ellos tienen motores turbo (x = 5). Si prueba tres de los vehículos (n = 3), ¿cuál es la probabilidad de que dos de los tres que probará tengan motores turbo?

• Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad son muy inteligentes ¿calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes.

3.5 ¿Cuál es la relación entre la distribución normal y la distribución ji-cuadrada?

Cuando n es demasiado grande, como consecuencia del teorema central del límite, se aproximan a una distribución normal.

3.6 ¿Cómo se relaciona la distribución T de Student con la ji-cuadrada?

Están diseñadas para muestras pequeñas y sus variables son aleatorias continuas, ambas con grado de libertad n-1.

3.7. El departamento de compras inspecciona un pedido de 500 piezas eléctricas, para lo cual toma una muestra aleatoria de 20 de ellas y se prueban. El vendedor asegura que el porcentaje de piezas defectuosas es sólo de 5%, así, suponiendo el peor de los casos según el vendedor, p = 0.05, responda lo siguiente:

Usare Distribución BINOMIAL, puesto que la población es grande con respecto a la muestra, por ello no puedo usar HIPERGEOMETRICA (aunque haciendo en minitab da el mismo resultado) esto basado en el libro que dice que la HIPERGEOMETRICA Esta echa para lotes pequeños con respecto a la muestra.

Formula:                Datos:          p = 0.05    n = 20[pic 2]

[pic 3]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestral de defectuosos sea mayor a 10%?

10% de 20 piezas = 2 piezas Por tanto:

P(X>= 2) = 1 – (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) = 1 – (0.36 + 0.38 + 0.19) = 0.07 = 7%

P(x=0) = [pic 4]=[pic 5][pic 6] = 0.36

P(x=1)= [pic 7] =  0.38

P(x=2) = [pic 8] = 0.19

b) ¿cuál es la probabilidad de obtener una o menos piezas defectuosas?

P(X<=1) = P(X=0) + P(X=1) = 0.36 + 0.38 = 0.74 = 74 %

3.8 Un proceso de producción de partes trabaja con un porcentaje promedio de defectos de 5%. Cada hora se toma una muestra aleatoria de 18 artículos y se prueban. Si la muestra contiene más de un defecto el proceso deberá detenerse. [pic 9][pic 10]

Datos: p = 0.05                n = 18                x = 1

a) Calcule la probabilidad de que el proceso se detenga debido al esquema de muestreo.

P(X=0) = [pic 11] =   0.397214

P(X=1) = [pic 12] = 0.376308

P(X>1)= 1 – (P(X=0)+P(X=1)= 1 – 0.773522 = 0.2264 = 22.64%

b) De acuerdo con lo contestado en a), ¿considera que el esquema de muestreo es adecuado o generará demasiadas interrupciones?

Desde mi punto de vista esta correcto hay una probabilidad mayoritaria de que no se detenga y Si lo que se persigue es calidad creo que esta adecuado, cada hora se sacan las muestras y se prueban y pienso que se aplican las correcciones necesarias, además sale más caro tener productos defectuosos que pausar la producción para corregir.

3.9 Un fabricante de calculadoras electrónicas desea estimar la proporción de unidades defectuosas producidas, para ello toma una muestra aleatoria de 250 y encuentra 25 defectuosas. Con base en esto el fabricante afirma que el porcentaje de calculadoras defectuosas que se produce es de 10%, ¿es real esta afirmación?

Argumente su respuesta.          n= 250                 p = 0.1                 x=25

P(X=25) = [pic 13] =   0.0838214 = 8.38% NO EL 10% que se afirma.

3.10. Un fabricante de galletas desea que, con probabilidad de 0.95, cada galleta contenga al menos una pasa.

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