Derivación de la fórmula de black & scholes.

Derivación de la Ecuación diferencial de B&S

El precio de la opción de una acción es una función del precio de las acciones subyacentes y del tiempo. Supongamos que el valor de una variable x sigue el proceso de Ito.

•                        (1.1)[pic 1]
• Donde dz es un proceso de Wiener y a y b son funciones de x y t. El Lema de Ito muestra que la función ) sigue el proceso:[pic 2]
•         (1.2)[pic 3]
• Donde dz es el mismo proceso de Wiener de la ecuación (1.1). Por lo que, F también sigue un proceso de Ito.
• Si               (1.3)[pic 4]
• Con µ y σ constantes donde   y .Suponemos que f es el precio de una opción call o cualquier otro derivado. La variable f debe de ser una función de s y t, por lo que tenemos:[pic 5][pic 6][pic 7]
• (1.4)[pic 8]
• Se debe tomar en cuenta que tanto S y t se ven afectados por la misma fuente subyacente de incertidumbre, dz.
• La forma discreta de las ecuaciones (1.3) y (1.4)  es la siguiente:
•                                               (1.5)[pic 9]
• [pic 10]
• Donde  Los procesos de Wiener f y S son los mismos. Es decir, [pic 11][pic 12]
• De  tenemos que[pic 13][pic 14]
• Sustituyendo en (1.4)
• [pic 15]
• Eliminado los , tenemos  [pic 16][pic 17]
• Reduciendo y juntando términos nos queda:
• [pic 18]
• Consideramos un portafolio Π que se compone de una opción en posición larga y una cantidad Δ de una acción subyacente en posición corta, de tal manera que el portafolio esta exento de riesgo, es decir, que no es sensible a los cambios en el precio. El valor del portafolio en el tiempo t es:
• [pic 19]
• El primer término de la derecha es la opción y el segundo término es la posición de los activos cortos. El cambio en el valor de la cartera se debe en parte al cambio en el valor de opción y en parte al cambio en el subyacente:
• [pic 20]
• Sustituyendo los valor de df
• [pic 21]
• [pic 22]
• Si consideramos que [pic 23]
• Lo sustituimos en la ecuación anterior
• [pic 24]
• [pic 25]
• El portafolio debe de tener dos características. La primera es que deber de ser libre de riesgo, lo que implica que el segundo término que lleva dz es cero, por lo que tenemos que ∆ = ∂f / ∂S y sustituyendo en 2.2 tenemos que el portafolio sigue el proceso:
• [pic 26]
• La segunda característica es que debe de ganar un interés libre de riesgo de acuerdo a la condición de libre arbitraje, lo que implica que  dΠ = rΠdt.
• entonces
• [pic 27]
• Sustituyendo en la [pic 28]
• Tenemos que
• [pic 29]
• La ecuación de Black & Sholes se escribe como:
• [pic 30]
• Donde r=T-t. Se quiere resolver la ecuación para el caso de una opción de un Call Europeo, con la siguiente condición:
• f= max ((,0), K: strike Price  cuando t=T[pic 31]
• En el caso de una opción de un put Europeo, se tiene que:
• f= max (,0), K: strike Price  cuando t=T[pic 32]
• Tomando y=log s
• [pic 33]
• [pic 34]
• Usando  se tiene que:[pic 35]
• [pic 36]
• Donde la solución es una función normal
•                   (3.3)  
  Para mantener el portafolio sin riesgo, es necesario cambiar con frecuencia las proporciones relativas de la derivada y las acciones en el portafolio. La cual es la ecuación de Black & Scholes, se debe de remarcar que las preferencias de riesgo µ de los inversionistas no afectan el precio de la acción y el modelo de precio de la acción solo toma 5 parametros, que son S,  T, X, r  y σ.[pic 37]
• [pic 38]
• [pic 39]
• [pic 40]
• Sustituyendo en la ecuación de B&S (2.4), tenemos que :
• [pic 41]
• Y sustituyendo la ec. (3.1)
• [pic 42]
• [pic 43]
• [pic 44]
• Y si [pic 45]
• [pic 46]
• [pic 47]
• [pic 48]
• La solución a la ecuación  se obtiene como la convolución de la solución fundamental  y la condición inicial,  y  respectivamente[pic 49][pic 50][pic 51]
• W([pic 52]
• Par de función
• F*g(t)=    (3.3)[pic 53][pic 54]
• La respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo a una excitación general es la convolución de la excitación aplicada y la respuesta al impulso de su tema.
• Por  el principio de superposición de una ecuación diferencial lineal, la solución a la ecuación 3.2
• Usando la solución fundamental 3.3
• W(y, [pic 55]
• [pic 56]
• Denotamos la función de distribución de una variable Normal con N(x):
•            (3.6)[pic 57]
• Extendiendo la ecuación (3.5) tenemos:
• W(y, [pic 58]
• Donde
•           (3.8)[pic 59]
• La ecuación (3.5) también puede escribirse como:
• W(y, [pic 60]
• -  (3.9)[pic 61]
• Donde /2) =ln S+/2) . Considerando un segundo término  en la parte derecha de la ecuación . Para convertir este termino de la forma 3.6.Tomamos  =(-ξ+A)/ . Despues  y los limites de la integral s convierten en:[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]

=- [pic 70][pic 71]

 q=-[pic 72]

q=-[pic 73]

D[pic 74]

- -     (3.10)[pic 75][pic 76]

Despues de integrar el primer término tenemos:

[pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

[pic 80]

        (3.11)[pic 81]

• Usando la definición de A tenemos:
• [pic 82]
•                      (3.12)[pic 83]
• Insertando  ecuaciones  3.11 y 3.12 en el primer término de 3.9 , el  primer término se convierte:
•     (3.13)[pic 84]
• Usando
• [pic 85]
• entonces
• [pic 86]
• Y los límites se convierten en
•  t=-[pic 87][pic 88]
•   t=[pic 89][pic 90][pic 91]
• [pic 92]
•              (3.14)[pic 93]
• [pic 94]

El primer termino es entonces escrito como:[pic 95][pic 96]

• =          (3.15)[pic 97]
• Esto completa el paso de la ecuación 3.5 a la 3.7
• Esto completa la formula de una opción de un call europeo. Esto da un precio óptimo de un call Americano en un activo que no paga dividendos.
• Observaciones
• 1. N (puede ser considerado como la probabilidad neutra al riesgo de una opción de compra siendo in−the−money en el vencimiento.[pic 98]
• 2. El primer término de lado derecho en la ecuación 3.7 es el valor presente de la expectativa de un precio de un activo neutral al riesgo al vencimiento condicionado en que el call sea in- the-money[pic 99]
• 3. El segundo término es el valor presente de la expectativa neutral al riesgo de un pago hecho por el tenedor de un call a la expiración de ejercer la opción

En el uso del put-call parity podemos encontrar el valor de una opción put europea

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