SUMAR NO ES SIEMPRE AGREGAR NI RESTAR ES SIEMPRE QUITAR

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SUMAR NO ES SIEMPRE AGREGAR NI RESTAR ES SIEMPRE QUITAR

• La construcción del sentido de los conocimientos matemáticos involucra diferentes aspectos: las suma y la resta incluyen tanto el dominio de diversas estrategias de cálculo como el reconocimiento del campo de problemas que se resuelven  con dichas operaciones.

• La construcción de estos conocimientos lleva varios años a los niños. En los diferentes años se precisa generar condiciones para que los alumnos continúen ampliando el dominio de estrategias de cálculo y de los problemas que dichas operaciones permiten resolver.

Diferentes problemas de suma y de resta

• Los problemas en los que se trata de agregar o quitar elementos  de una colección son problemas de suma y resta, pero no significa que todos los problemas puedan ser englobados dentro de dichas acciones.

• Los problemas de estructura aditiva son todos aquellos para cuya resolución intervienen sumas o restas y no pueden estudiarse en forma separada, pues pertenecen a una misma familia, a un mismo “campo conceptual”. Vergnaud propone una clasificación de problemas según estén involucrados, medidas, estados relativos o transformaciones.

• A causa de las dificultades que les son propias, distintos problemas de suma y resta deben ser abordados como objeto de estudio en la escuela para que sean efectivamente reconocidos por los niños. El estudio de la suma y la resta precisa ser encarado a lo largo de varios años.

Muchos problemas para las mismas cuentas

• Sobre la base de la distinción entre medidas, estados relativos y transformaciones, se pueden clasificar las relaciones numéricas aditivas en seis categorías. En el interior de cada una de estas últimas encontraremos diferentes clases de problemas.

1. Composición de dos medidas.

• Abordar este tipo de problemas implicará trabajar a partir de los procedimientos de conteo y de suma, para que en otros problemas con números más grandes los niños puedan reconocer que se resuelven con una resta.
• Considerar como objeto de trabajo este tipo de problemas significa plantearles a los alumnos otros similares, primero con números pequeños y luego con números más grandes, en donde se discuta la diversidad de procedimientos posibles y se analice como procedimiento económico la utilización de la resta.

1. Una transformación opera sobre una medida.

• En esta situación se opera una transformación en el tiempo sobre las medidas de la colección.

Estado inicial (Ei) – Transformación (T) –Estado Final (Ef)

• Se encuentran seis tipos de problemas diferentes, según que la transformación sea positiva o negativa y según el lugar de la incógnita:

1. Transformación positiva. Incógnita en el estado final.

• El sentido de la suma está en juego tampoco es muy complejo para los niños. Es reconocible  por los alumnos de primer año como un problema que se resuelve con una suma.

1. Transformación positiva. Incógnita en el estado inicial.

• La búsqueda del estado inicial es para los niños muchos más complejo. Los niños que resuelven sin dificultades problemas de búsqueda del estado final, solo la mitad logra resolver problemas de búsqueda del estado inicial.

1. Transformación positiva. Incógnita en la transformación.

• Este tipo de problemas también propone un mayor desafío a los alumnos. Tienen dificultad de reconocer que se está preguntando.
• Se trata de otro problema a resolver con una resta, aunque se refiera a la transformación positiva.
• Para poder conocer la resta como solución al problema planteado será necesario abordar en el aula una secuencia de problemas similares y tomarlos como objeto de estudio u análisis colectivo.

1. Transformación negativa. Incógnita en el estado final.

• Este problema no representa dificultades para los niños, incluso en el inicio del primer año reconocen que se trata de un problema de resta.

1. Transformación negativa. Incógnita en el estado inicial.

• Vuelven a aparecer las dificultades que se encuentran los niños para hallar el estado inicial.
• Se trata de utilizar la suma en un problema “de perder”. La suma tiene un nuevo sentido : permite averiguar estados iniciales en problemas de transformaciones negativas.

1. Transformación negativa. incógnita en la transformación.

• Para los niños  averiguar una transformación es más trabajoso que encontrar es estado final: en los primeros años no les es sencillo reconstruir la situación y averiguar qué pasó “en el medio”.

1. Una relación entre dos medidas.

• Las situaciones que vinculan dos  medidas varían de las siguientes formas:

• Variación en lugar de la incógnita.

• Incógnita en una de las medidas
• Incógnita en la relación

• Variación en el modo de explicitar la relación (más que o menos que).

• También llamados de tipo Comparación presentan una mayor exigencia conceptual para los niños.
• Un obstáculo para su resolución reside en la comprensión de la situación enunciada.

1. Dos transformaciones se componen para dar lugar a otra transformación.

• Dos transformaciones se componen para dar lugar a una tercera.
• Existen diversos tipos de problemas según se trate de transformaciones positivas o negativas y según el lugar de la incógnita.

1. Incógnita de la composición. Transformación negativa.

• Los problemas planteados exclusivamente en términos de transformaciones generan a los alumnos dificultades: no conocen el estado inicial, ni preguntan por el estado final.
• Cuando los alumnos están habituados a resolver problemas similares, se instala la idea que todos los problemas se resuelven con una resta.

1. Incógnita en una de las transformaciones. Transformaciones negativas.

• A los niños suele resultarles más complejo encontrar una de las transformaciones que la composición de ambas.
• Este tipo de problema exige un abordaje específico en el aula a partir de la resolución de varios problemas similares y la reflexión sobre los mismos.

1. Incógnita en la composición. Transformaciones positivas.

• Los niños no suelen tener dificultades, pues hay que sumar dos números positivos.

1. Incógnita en una de las transformaciones. Transformaciones positivas.

• Es frecuente que realicen un conteo para tener mayor control de su actividad, también pueden realizar un tanteo con diferentes números, o una representación gráfica de la situación.
• El trabajo en el aula estará dirigido a que los alumnos reconozcan que este problema puede ser resulto por medio de una resta.

1. Incógnita en la composición. Una transformación positiva y una negativa.

• Los niños suelen exigir conocer el estado inicial para evaluar si es posible o no.
• Es necesario analizar qué sucedería en diferentes estados iniciales hipotéticos discutiendo acerca de si es posible o no en cada caso.
• Es necesario plantear con números pequeños para que puedan “controlar” los cálculos que hacen y centrarse en el enunciado del problema.

1. Incógnita en una de las transformaciones. Una transformación positiva y una negativa.

• La operación u el valor de la transformación total dependen de la magnitud de los valores de las transformaciones.
• Este problema de suma y resta puede ser propuesta a finales del tercer año con números muy pequeños.
• Como trabajo colectivo posterior a la resolución, la búsqueda del cálculo que hubiera permitido encontrar solución.

1. Una transformación opera sobre un estado relativo

• En el interior de este tipo de situaciones pueden plantarse diferentes problemas, según si la transformación es positiva o negativa y según si se trata de conocer el estado relatico inicial, el estado relativo final o la transformación que se ha operado.

1. Dos estados relativos se componen se componen para dar lugar a otro estado relativo.

• Dos transformación ese componen para dar lugar a una tercera, pero en este caso no hay un orden temporal, hay simultaneidad entre los estados relativos.

Los problemas en el aula: un trabajo colectivo.

• Los problemas aditivos no constituyen clase homogénea, presentan una estructura que se desarrolla durante un largo periodo de tiempo.
• En la primera instancia, una fase de trabajo individual en la que se espera que aparezcan variados procedimientos de resolución y diferentes respuestas al problema.
• En la segunda estancia se plantea el trabajo colectivo, se comunican las diferentes respuestas al problema y los procedimientos utilizados, se debate para analizar las diferentes respuestas, es un momento de discusión y análisis del problema por el conjunto de la clase, se puede instalar la solución correcta y posibles modos de solución.
• El trabajo colectivo es una nueva oportunidad para que los niños reorganicen aquellos que saben sobre los problemas.
• En la tercera estancia se subrayan las conclusiones a las que se han arribado y se registra la solución.

Fragmentos de una clase ¿de sumar o de restar?

•  Lo siguiente es un extracto de una clase para ilustrar la fase colectiva de trabajo luego de la resolución individual.
• La maestra plantea a los niños a  finales del primer año un problema de tipo “búsqueda del estado inicial con una transformación negativa”.
• La docente propone a los alumnos que discutan y resuelvan en grupos, les entrega una copia del problema, les pide que escriban la respuesta y luego conversaran entre todos sobre el problema.
• En la fase de la discusión no da “pistas” acerca de cuál es la respuesta correcta, sino favorece el intercambio entre los alumnos acerca del resultado.
• En la siguiente fase la docente interviene retomando lo planteado por los alumnos, se analiza lo planteado por el problema, se destaca el resultado correcto, favorece la justificación por parte de los alumnos y propone maneras de comprobarlo.
• Los alumnos plantean sus dudas y, finalmente, la docente aclara que podía resolverse de diferentes modos. Se analizan las respuestas erronas de los alumnos.
• Esta discusión sienta precedentes para nuevos problemas, podrán aprender que los problemas resueltos le permitirán pensar sobre otros nuevos y la ayudaran a seguir aprendiendo.

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