Sistemas Axiomaticos

Sistemas axiomáticos formales

En lógica, aritmética y geometría, la verdad de las proposiciones no se demuestra mediante un método experimental, sino a través de una prueba lógica. Una prueba lógica es un señalamiento de las implicancias entre un conjunto de proposiciones llamadas axiomas (que no se demuestran) y otras proposiciones llamadas teoremas, que sí deben demostrarse.

Esta cuestión lógica tiene que ver con la validez de la inferencia, no con la verdad o falsedad empírica de las proposiciones. Los teoremas deducidos de los axiomas son vacíos: no dicen nada acerca del mundo.

Componentes de los sistemas axiomáticos

Un sistema axiomáticos está compuesto por:

1. Los términos primitivos

2. Los términos definidos

3. Los axiomas

4. Reglas de inferencia

5. Teoremas

Los términos primitivos no se definen. Es claro que un intento de definir todos los términos conduciría a un regreso al infinito o a un círculo vicioso. Por ello, se eligen ciertos conceptos como primitivos o sin definición y se definen a partir de ellos las demás nociones del sistema.

Luego, utilizando los términos primitivos y los términos definidos, se formulan los axiomas, que son enunciados que no necesitan demostración (si se pretendiera demostrar todas las proposiciones de un sistema axiomático, se incurriría en un regreso al infinito o en un círculo vicioso). Los axiomas se consideran enunciados verdaderos sin que su verdad se derive de otros enunciados. Se busca siempre partir del menor número de axiomas.

A partir de allí, comienza a desarrollarse el sistema, es decir, se comienzan a deducir consecuencias lógicas mediante el empleo de las reglas de inferencia que, en todos los casos, son razonamientos deductivos. Esas consecuencias son los teoremas del sistema.

Puede definirse el teorema como el último paso de una demostración. Una demostración es un conjunto finito de enunciados donde cada uno de ellos es un axioma o es una consecuencia lógica de otros enunciados anteriores en virtud de una regla de inferencia. Dado que los axiomas se admiten como enunciados verdaderos y las reglas de inferencia son razonamientos deductivos, es decir, inferencias que transmiten la verdad de las premisas a la conclusión, los teoremas son enunciados verdaderos.

Propiedades de los sistemas axiomáticos

En principio, qué sistema de axiomas se elija es una cuestión de conveniencia. No es necesario que sean evidentes, elementales o escasos. Pero se requiere que el sistema axiomático cumpla con tres propiedades: consistencia, independencia y completitud.

1) Consistente: un sistema es consistente si, desde los axiomas, no se puede derivar una fórmula y su negación. Si se admitiera una contradicción,

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