Sistemas axiomáticos y elementos de lógica proporcional

Sistemas axiomáticos y elementos de lógica proporcional.

1).- Sistemas Axiomáticos:

Un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas que se utilizan, mediante deducciones, para demostrar teoremas.

Los sistemas axiomáticos tienen un papel importante en las ciencias exactas, sobre todo en matemáticas y en física, y los resultados demostrados en múltiples teorías de estas ciencias generalmente se llaman teoremas o leyes.

Un sistema axiomático se compone de los siguientes elementos:

 Axiomas: los axiomas son los puntos de partida del razonamiento deductivo, son verdades incuestionables universalmente válidas y evidentes, que se utilizan a menudo como principios en laconstrucción de una teoría o como base para una argumentación.

 Teoremas: los teoremas son las conclusiones que se van obteniendo activamente razonando a partir de esos axiomas.

 Reglas de inferencia: son las reglas lógicas que podemos aplicar sobre la base de conceptos no definidos y proposiciones no demostradas para de esa forma deducir nuevas proposiciones, los teoremas, los cuales a su vez podemos usar para deducir nuevos teoremas, y así sucesivamente, construyendo de esa forma el edificio de nuestro sistema axiomático.

 Demostraciones: a partir de las reglas de inferencia se construyen las demostraciones que son secuencias de enunciados que parten de los axiomas y van obteniendo nuevos enunciados por aplicación de las reglas de inferencia.

 Términos: es una idea, pero que no es ni cierta ni falsa. Por ejemplo, “hombre” o “mortal'”, Condiciones, reglas o argumentos que entran en un debate o una argumentación, los axiomas y los teoremas están formados por términos que se combinan de cierta manera.

 Primitivo: son los que no se definen, el significado de estos términos primitivos va a estar determinado por lo que los axiomas y teoremas digan, por lo que digan esos enunciados donde aparecen, eso es una manera de entender los términos primitivos como meros constructos formales que no dicen nada acerca de la realidad.

 Definidos: los que hablen acerca de los objetos y propiedades de la teoría que yo defino, aquello que puede ser definido como un enunciado que puede ser calificado de verdadero o falso.

 Reglas de Formación: son las reglas sintácticas y gramaticales del sistema que me dicen cómo puedo yo con los términos formar fórmulas bien formadas del sistema, pero los términos con las cuales la forma van a hacer de estos dos tipos términos lógicos o también pueden ser puedo tener además términos importados de otras teorías.

Propiedades de los sistemas axiomáticos:

Los sistemas axiomáticos desde una perspectiva contemporánea:

Los axiomas se aceptan sin demostración y constituyen los puntos de partida de las demostradas, de las demostraciones no se exige que sean verdades evidentes. Estos deben incluir de modo explícito las reglas de inferencias que se utilizan para demostrar los teoremas, una demostración es una secuencia finita de pasos en donde cada uno es derivado en el enunciado anterior, que es o bien un axioma o bien otro teorema que ya ha sido demostrado.

Todos los enunciados están compuestos por términos y podemos distinguir dos tipos términos lógicos y términos no lógicos que a su vez se dividen en términos primitivos que son los que se aceptan y emplean sin definición de los términos definidos, que se definen a partir de los primitivos, suelen incluir reglas de formación que indican cómo combinar los diferentes términos para dar lugar a expresiones complejas bien formadas.

Selección de axiomas:

Los axiomas

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