“El teorema de la Suma” formulado finalmente por Thomas Bayes (1702-1761)

2. “El teorema de la Suma” formulado finalmente por Thomas Bayes (1702-1761) se enuncia por la fórmula: .

Esta formula puede ayudar a determinar las varias hipótesis es la mas probable sobre la base de los datos dan.

Ejemplo:

Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.

c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

SOLUCION

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del

Problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la

propiedad de la probabilidad total,

P(D) = P(A) • P(D/A) + P(B) • P(D/B) + P(C) • P(D/C) =

= 0.45 • 0.03 + 0.30 • 0.04 + 0.25 • 0.05 = 0.038

b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

P(B/D) = P(B)-P(D/B)

P(A)- P (D/A)+P(B)*P(D/B)+P(C). P(D/C)

0.30-0.04 12

= ----------------------------------------------------------= ----- = 0.316

0.45 – 0.03 I 0.30 . 0.04 + 0.25 – 0.05 38

c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado.

Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos

P (A/D) - 0.45- 0.03 135

---------------------------------------------------------- - ------ - 0.355

0.45 . 0.03 + 0.30 . 0.04 + 0.25 . 0.05 380

P ( C/D) = 0.25 . 0.05 125

---------------------------------------------------------- = ------- = 0.329

0.45 . 0.03 + 0.30. 0.04+ 0.25 . 0.05 380

La maquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza con defecto es la A.

3. “El Teorema de la Multiplicación” enunciado en un principio por Abraham De Moivre (1667-1754) y divulgado por Bayes mediante la fórmula: .

Esta formula es la manera de calcular la probabilidad de intersección de dos sucesos.

Ejemplo:

Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso P: seleccionar el primer aparato

Suceso S: seleccionar el segundo aparato

Suceso T: seleccionar el tercer aparato

Suceso E: seleccionar un resultado con error

Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:

4.“La Ley de los Grandes Números” propuesta por Jabob Bernoulli. A. Cómo se representa simbólicamente. B. Interprétela con sus palabras. C. Proponga un ejemplo y explique el resultado.

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