Pendulo de torsi´on

1 Objetivos

• Determinar la constante de un muelle espiral

• Determinar el momento de inercia de varios s´olidos r´ıgidos

• Comprobar la utilidad del teorema de Steiner

2 Material

• Tripode son soporte • Muelle espiral • Barrera fotoel´ectrica

• Disco met´alico con orificios • Barra con pesas • Disco de pl´astico

• Cilindro Macizo • Esfera • Cilindro hueco

3 Fundamento te´orico

3.1 P´endulo de torsi´on

En la figura se muestra un p´endulo de torsi´on, que est´a formado por un objeto suspendido de un hilo que por el otro extremo est´a unido a un punto fijo. Un muelle espiral colocado de forma horizontal tambi´en se puede considerar como un p´endulo de torsi´on. Cuando el hilo o el muelle se giran un ´angulo θ, ejercen un momento que tiende a devolver el objeto a su posici´on inicial. Ese momento suele ser de la forma:

τz = −kθ (1)

donde el eje de giro se representa por z, τz es la componente del momento sobre el eje de giro y k se denomina constante de torsi´on y depende de las propiedades el´asticas del hilo o del muelle.

k

I

θ

La segunda ley de Newton para la rotaci´on, aplicada a un cuerpo r´ıgido con simetr´ıa de revoluci´on y de momento de inercia I, se puede expresar as´ı:

d2θ

τz = I dt2 (2)

con lo que sustituyendo τz resulta la siguiente ecuaci´on diferencial:

d2θ

I dt2

+ kθ = 0 (3)

Es sencillo comprobar que la soluci´on de esta ecuaci´on es de la forma:

θ(t) = θ0 cos(ωt + δ) (4)

que representa un movimiento arm´onico simple de frecuencia y periodo:

. k .1/2

ω =

I

2π

; T =

ω

= 2π

. I .1/2

k

(5)

A diferencia del p´endulo simple, en este caso no se ha necesitado en ningu´n momento suponer que el a´ngulo θ sea suficientemente pequen˜o para que la ecuaci´on diferencial sea lineal. Es decir, en el caso del p´endulo de torsi´on, siempre que el momento sea proporcional al ´angulo girado, el sistema describe un movimiento arm´onico simple.

3.2 Teorema de Steiner (o de los ejes paralelos)

El momento de inercia de un s´olido r´ıgido no es una propiedad intr´ınseca del cuerpo sino que depende del eje de giro respecto al que se calcule. Por esta raz´on en muchas ocasiones

es u´til conocer las ecuaciones que relacionan el momento de inercia respecto a un eje

con el momento respecto a otro diferente. Uno de los teoremas m´as utilizados en estas situaciones es el denominado teorema de los ejes paralelos o de Steiner, que relaciona el momento de inercia respecto a un eje cualquiera con el momento relativo a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas del objeto.

y'

y

y

r ycm

d

z x

O

dm

r'

c.m.

x'

xcm x

Consideremos un s´olido r´ıgido arbitrario de masa M , que tiene un momento de inercia I respecto a un eje que pasa por el punto O y, como se muestra en la figura, es perpendicular al plano del papel. Por definici´on de momento de inercia:

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