Distribución normal

Distribución Normal

Molina Loja Jhosadac Helfer

Velez de Villa Huacachi Ronald Silverio

Zeña Zeña Frankli

Facultad de Ingeniería Económica, Estadística y Ciencias Sociales

Dr. Guzmán López Rita Rocío

12 de septiembre de 2023

Tabla de contenido

Índice

Definición        3

Características        3

Función de densidad        4

Función de distribución acumulada        4

Propiedades        4

Ejercicios        5

Definición 

La distribución normal, también conocida como la distribución gaussiana o campana de Gauss, es una de las distribuciones de probabilidad más importantes en estadísticas y probabilidad. Se utiliza ampliamente en diversos campos debido a sus propiedades matemáticas y su capacidad para modelar muchas variables aleatorias en la vida real.

Características 

• Toda familia de distribuciones normales se diferencia por medio de dos parámetros: la media 𝜇 y la desviación estándar 𝜎.  
• El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre la media, la cual coincide con la mediana y la moda.
• La media de una distribución normal puede tener cualquier valor: negativo, positivo o cero.
• La distribución normal es simétrica. Las colas de la curva normal se extienden al infinito en ambas direcciones y en teoría jamás tocan el eje horizontal. Dado que es simétrica, la distribución normal no es sesgada; su sesgo es cero.
• La desviación estándar determina qué tan plana y ancha es la curva normal. Desviaciones estándar grandes corresponden a curvas más planas y anchas, lo cual indica mayor variabilidad en los datos.
• Toda el área bajo la curva de una distribución normal es 1. El área bajo la curva a la izquierda de la media es 0.50.
• Los porcentajes de los valores que se encuentran en algunos intervalos comúnmente usados son: a. 68.3% a ± b. 95.4% a ± c. 99.7% a ± [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7]

Figura 1: Porcentaje de valores

Función de densidad 

La variable aleatoria X sigue una distribución con media  y varianza , lo que se denota como:[pic 8][pic 9]

[pic 10]

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Función de distribución acumulada

La función de distribución normal acumulada (CDF de la distribución normal) es la función que describe la probabilidad acumulada de que una variable aleatoria distribuida normalmente, denotada como: [pic 13]

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Propiedades

• [pic 15]
• [pic 16]
• , es decir es simétrica[pic 17]
• [pic 18]
• Eje X como asíntota horizontal
• Puntos de inflexión en x =  y x =  , por tanto, en [ ,  ] es cóncava hacia abajo, y cóncava hacia arriba en cualquier otra parte[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Ejercicios

1. Demuestre que el área bajo la curva de la normal es uno.

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Cambio a coordenadas polares: [pic 31]

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1. Halle el valor esperado de la distribución normal

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